微积分，从一个好问题开始。
《The Calculus Lifesaver》苏格拉底式阅读笔记。
按原书次序，从函数走到微分方程；每一章都留出思考的空间。
开始前，先约定学习方式
每次只读一组追问。先写下猜想和理由，卡住时看提示，最后展开推理。练习先独立完成，再核对解答；把错题留到第二天重做。附录 A 可跟随相关章节回读，附录 B 在定积分后学习。
选题说明：已核对所给 PDF 共 753 页，正文 30 章，附录 A、B。该版没有独立的章末习题集；作者在前言印刷页 xix（PDF 第 20 页）说明，作为教材使用时应配合习题集。本笔记因此选取正文例题、“自己试一试”内容和定理证明改为练习，并标记出处；共 66 组有原书出处的题目，另有 30 组补充自测。原例的延伸问题另作说明。
这是按章组织的中文学习笔记。定义、使用条件、核心推导与选题解答在页面内；原书的更多例子与完整图文可用每章页码链接回读。总目录保留原书章节顺序，附录另页保存。
01–02 · 预备知识
03–04 · 极限的语言与计算
05–14 · 导数：定义、方法与应用
连续性与可导性
用极限定义理解连续和导数，区分存在性定理的条件与结论。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 75–98
第 6 章求导问题的解法
从结构识别求导法则，并能处理切线、运动、分段与伪装差商。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 99–126
第 7 章三角函数的极限与导数
识别三角函数内部变量的大小，用基本极限与链式法则处理问题。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 127–148
第 8 章隐函数求导与相关变化率
在不显式解出函数时求斜率，并从几何约束建立变化率方程。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 149–166
第 9 章指数与对数
理解指数与对数互逆，掌握求导、增长比较和指数模型。
6 组追问 · 3 组练习 · pp. 167–200
第 10 章反函数与反三角函数
利用反函数关系求导，并把主值范围当成反三角计算的一部分。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 201–224
第 11 章导数与图像
用存在性定理、导数符号和凹凸性识别最值与图像特征。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 225–244
第 12 章绘制函数图像
把局部导数信息与全局极限信息合成为有依据的图像。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 245–266
第 13 章最优化与线性化
把文字约束变成单变量最值问题，并用切线进行带误差意识的近似。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 267–292
第 14 章洛必达法则与极限总览
识别不定式，满足条件后使用洛必达，并能选择更合适的替代方法。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 293–306
15–21 · 积分：累积、技巧与收敛
积分入门
从有限求和与小段位移理解累积量，为定积分定义做准备。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 307–324
第 16 章定积分
理解黎曼积分、面积和平均值，并知道可积性不是自动成立的。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 325–354
第 17 章微积分基本定理
理解累积与变化率互为桥梁，并准确处理变上限和变下限积分。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 355–382
第 18 章积分技巧（一）
以换元、分部积分、部分分式三种结构化方法化简积分。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 383–408
第 19 章积分技巧（二）
处理三角幂、根式换元与递推积分，并形成选法顺序。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 409–430
第 20 章反常积分：基本概念
用独立极限定义反常积分，并掌握比较、极限比较和绝对收敛。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 431–450
第 21 章反常积分：解题方法
逐个定位问题点，为每个点挑选可靠的比较模型。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 451–476
22–26 · 数列、级数与近似
数列与级数：基本概念
区分数列与部分和，掌握所有基础级数判别法的假设和结论。
6 组追问 · 3 组练习 · pp. 477–500
第 23 章级数问题的解法
根据通项结构选择方法，并准确区分绝对收敛、条件收敛与发散。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 501–518
第 24 章泰勒多项式、泰勒级数与幂级数
从匹配导数构造局部多项式，并用余项区分形式展开和真实函数表示。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 519–534
第 25 章估计问题的解法
选择展开中心和阶数，让数值近似带有可证明的精度保证。
4 组追问 · 3 组练习 · pp. 535–550
第 26 章泰勒与幂级数：解题方法
求完整收敛区间，用已知级数构造新级数并计算导数与极限。
5 组追问 · 3 组练习 · pp. 551–574
27–30 · 坐标、复数、几何与方程
A–B · 证明与数值方法
章节覆盖清单
| 顺序 | 章节 | 印刷页 | 问答节 | 原书 / 补充 |
|---|---|---|---|---|
| 第 1 章 | 函数、图像与直线 | 1–24 | 5 | 2 / 1 |
| 第 2 章 | 三角学复习 | 25–40 | 4 | 2 / 1 |
| 第 3 章 | 极限入门 | 41–56 | 4 | 2 / 1 |
| 第 4 章 | 多项式及相关函数的极限 | 57–74 | 4 | 2 / 1 |
| 第 5 章 | 连续性与可导性 | 75–98 | 4 | 2 / 1 |
| 第 6 章 | 求导问题的解法 | 99–126 | 5 | 2 / 1 |
| 第 7 章 | 三角函数的极限与导数 | 127–148 | 4 | 2 / 1 |
| 第 8 章 | 隐函数求导与相关变化率 | 149–166 | 4 | 2 / 1 |
| 第 9 章 | 指数与对数 | 167–200 | 6 | 2 / 1 |
| 第 10 章 | 反函数与反三角函数 | 201–224 | 4 | 2 / 1 |
| 第 11 章 | 导数与图像 | 225–244 | 4 | 2 / 1 |
| 第 12 章 | 绘制函数图像 | 245–266 | 4 | 2 / 1 |
| 第 13 章 | 最优化与线性化 | 267–292 | 4 | 2 / 1 |
| 第 14 章 | 洛必达法则与极限总览 | 293–306 | 4 | 2 / 1 |
| 第 15 章 | 积分入门 | 307–324 | 4 | 2 / 1 |
| 第 16 章 | 定积分 | 325–354 | 5 | 2 / 1 |
| 第 17 章 | 微积分基本定理 | 355–382 | 5 | 2 / 1 |
| 第 18 章 | 积分技巧（一） | 383–408 | 5 | 2 / 1 |
| 第 19 章 | 积分技巧（二） | 409–430 | 5 | 2 / 1 |
| 第 20 章 | 反常积分：基本概念 | 431–450 | 5 | 2 / 1 |
| 第 21 章 | 反常积分：解题方法 | 451–476 | 5 | 2 / 1 |
| 第 22 章 | 数列与级数：基本概念 | 477–500 | 6 | 2 / 1 |
| 第 23 章 | 级数问题的解法 | 501–518 | 5 | 2 / 1 |
| 第 24 章 | 泰勒多项式、泰勒级数与幂级数 | 519–534 | 5 | 2 / 1 |
| 第 25 章 | 估计问题的解法 | 535–550 | 4 | 2 / 1 |
| 第 26 章 | 泰勒与幂级数：解题方法 | 551–574 | 5 | 3 / 0 |
| 第 27 章 | 参数方程与极坐标 | 575–594 | 5 | 3 / 0 |
| 第 28 章 | 复数 | 595–616 | 5 | 2 / 1 |
| 第 29 章 | 体积、弧长与表面积 | 617–644 | 5 | 2 / 1 |
| 第 30 章 | 微分方程 | 645–668 | 6 | 2 / 1 |
| 附录 A | 附录 A：极限与证明 | 669–702 | 9 | 2 / 1 |
| 附录 B | 附录 B：积分估计 | 703–716 | 5 | 2 / 1 |
符号与译名速查
| 中文 | 英文 | 阅读提示 |
|---|---|---|
| 函数、定义域、值域 | function, domain, range | 输入限制与实际输出集合，见第 1 章。 |
| 极限、连续、可导 | limit, continuity, differentiability | 邻近趋势、趋势与点值相符、有限差商极限，见第 3–6 章。 |
| 原函数、定积分 | antiderivative, definite integral | 一个是导数的逆问题，一个是累积量，见第 16–17 章。 |
| 收敛、发散 | convergence, divergence | 无限过程是否趋于有限确定结果，见第 20–23 章。 |
| 绝对收敛、条件收敛 | absolute, conditional convergence | 是否在取绝对值后仍收敛，见第 20、22 章。 |
| 泰勒多项式、余项 | Taylor polynomial, remainder | 局部导数匹配及剩余误差，见第 24–26 章。 |
| 凹向上、凹向下 | concave up, concave down | 本笔记以二阶导数正/负说明方向，避免“凸/凹”的中文约定混淆。 |
| 无穷、未定义、不存在 | infinity, undefined, DNE | 无穷不是实数；表达式未定义与极限不存在是不同判断。 |