THE CALCULUS LIFESAVER / 第 17 章

微积分基本定理

理解累积与变化率互为桥梁，并准确处理变上限和变下限积分。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 355–382

先修：第 6、16 章：导数与定积分

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

17.1–17.2 累积函数与第一基本定理 17.3–17.4 第二基本定理与不定积分 17.5 变上下限 17.6 常见反导与绝对面积 17.7–17.8 条件与证明思路

追问 01

17.1–17.2 累积函数与第一基本定理

面积随上限增加一点，为什么变化率就是当地高度？

先看一个提示

新增面积是一条很窄的带，平均高度接近端点高度。

展开推理与讲解

定义 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ 。若 $f$ 在所考虑点连续，差商是小区间内的平均高度，极限为 $f(x)$ ，因此积分构造出原函数。即使没有初等反导数公式，也能求这个累积函数的导数。积分变量 $t$ 是哑变量，上限 $x$ 才是函数输入。

\frac d{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

继续追问：若把固定下限从 $a$ 换成另一个常数，导数为什么不变？

核对这一步的回答

两种累积函数只差固定区间的积分，即一个常数，因此导数相同。

追问 02

17.3–17.4 第二基本定理与不定积分

知道一个原函数后，为什么只需端点值之差？

先看一个提示

所有原函数在同一区间上只差常数。

展开推理与讲解

若 $f$ 连续且 $G'=f$ ，则定积分等于 $G(b)-G(a)$ 。不定积分表示一族原函数，要写 $+C$ ；定积分是数，不加任意常数。在不连通定义域的各段，积分常数可以不同。

\int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a),\qquad\int f(x)dx=G(x)+C

继续追问：为什么验证反导数最可靠的方法是再求导？

核对这一步的回答

求导能直接验证是否还原被积函数，同时检查系数、符号与链式因子。

追问 03

17.5 变上下限

上下限都在动，两个边界怎样贡献变化？

先看一个提示

上边界增加面积，下边界移走面积，再乘各自速度。

展开推理与讲解

先固定一个参考点把积分拆开，用第一基本定理与链式法则。下限项自带负号，两端都需乘内层导数。若积分内部还显式含外部变量，则这条简单公式不够，需额外处理；不要把内外变量混淆。

\frac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

继续追问：上限是 $x^2$ 时，为什么不能只写 $f(x^2)$ ？

核对这一步的回答

还要乘上上限相对 $x$ 的导数 $2x$ ，这是链式法则。

追问 04

17.6 常见反导与绝对面积

求出了原函数，计算面积还可能错在哪？

先看一个提示

定积分会把正负区域抵消。

展开推理与讲解

反用求导公式得到幂函数、指数、三角和反三角形式的积分。幂积分在指数 -1 时改为对数。面积题在零点或交点处分段，按正面积累加。定积分反向、负函数与常数倍的符号要分别跟踪。

\int x^pdx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C\ (p\ne-1),\quad\int\frac{dx}x=\ln\lvert x\rvert+C,\quad\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C

继续追问： $\int_{-1}^1x\,dx=0$ 是否说明图像与横轴之间没有面积？

核对这一步的回答

不是。有向面积抵消了；无符号面积为 $\int_{-1}^1\lvert x\rvert dx=1$ 。

追问 05

17.7–17.8 条件与证明思路

被积函数只有可积而不连续时，积分函数处处可导吗？

先看一个提示

小区间平均高度未必有唯一的点值极限。

展开推理与讲解

在闭区间有界可积时，累积函数连续；在被积函数连续的点可使用第一基本定理。证明时估计差商与 $f(x)$ 的差，其绝对值不超过附近 $\lvert f(t)-f(x)\rvert$ 的上界。第二基本定理依靠原函数之差导数为零，结合中值定理得到常数差。

\left\lvert\frac1h\int_x^{x+h}f(t)dt-f(x)\right\rvert\le\sup_{t\text{ 在两端之间}}\lvert f(t)-f(x)\rvert

继续追问：在跳跃点，左右平均高度会趋向同一个值吗？

核对这一步的回答

真正跳跃时通常不同，因此累积函数在该点可能没有两侧导数。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 17.5.1 · 原书 p. 367（PDF 第 392 页）↗

求 $\frac d{dx}\int_x^7t^3\cos(t\ln t)\,dt$ ，注明定义域。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先交换上下限。

提示二 · 关键转折

交换引入负号；对数要求积分路径在正半轴。

参考解答 · 完成尝试后再展开

对 $x>0$ ，导数为 $-x^3\cos(x\ln x)$ 。无需找到被积函数的原函数，也不应在答案后添加 $+C$ 。

练习 2 / 3

原书核心构造改为练习 · 17.1–17.2 · 原书 p. 355（PDF 第 380 页）↗

若连续函数 $f$ 给出 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，证明 $F'(x)=f(x)$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

写出 $F(x+h)-F(x)$ 对应哪段积分。

提示二 · 关键转折

差商与 $f(x)$ 的差可以合并为 $f(t)-f(x)$ 的积分平均。

参考解答 · 完成尝试后再展开

区间可加性给出增量 $\int_x^{x+h}f(t)dt$ 。连续性保证小区间上 $f(t)$ 一致接近 $f(x)$ ，其平均也接近 $f(x)$ ，因此差商趋于 $f(x)$ 。对正负 $h$ 都可用相同绝对值估计。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 17.5–17.6 · 本笔记编写

求 $\frac d{dx}\int_{x^2}^{\sin x}e^{t^2}dt$ ，并求 $\int_{-1}^1\lvert x\rvert dx$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一问两个边界分别处理。

提示二 · 关键转折

第二问在零处分段。

参考解答 · 完成尝试后再展开

导数为 $e^{\sin^2x}\cos x-2xe^{x^4}$ 。面积为 $\int_{-1}^0(-x)dx+\int_0^1x\,dx=1$ 。注意下限项指数为 $(x^2)^2=x^4$ 。

学习闭环

过关自查

我能说清：理解累积与变化率互为桥梁，并准确处理变上限和变下限积分。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

微积分基本定理

17.1–17.2 累积函数与第一基本定理

17.3–17.4 第二基本定理与不定积分

17.5 变上下限

17.6 常见反导与绝对面积

17.7–17.8 条件与证明思路

本章练习 · 先尝试，再揭示

求 ddx∫x7t3cos⁡(tln⁡t) dt\frac d{dx}\int_x^7t^3\cos(t\ln t)\,dtdxd​∫x7​t3cos(tlnt)dt，注明定义域。

若连续函数 fff 给出 F(x)=∫axf(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)dtF(x)=∫ax​f(t)dt，证明 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)。

求 ddx∫x2sin⁡xet2dt\frac d{dx}\int_{x^2}^{\sin x}e^{t^2}dtdxd​∫x2sinx​et2dt，并求 ∫−11∣x∣dx\int_{-1}^1\lvert x\rvert dx∫−11​∣x∣dx。

过关自查

求 $\frac d{dx}\int_x^7t^3\cos(t\ln t)\,dt$ ，注明定义域。

若连续函数 $f$ 给出 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，证明 $F'(x)=f(x)$ 。

求 $\frac d{dx}\int_{x^2}^{\sin x}e^{t^2}dt$ ，并求 $\int_{-1}^1\lvert x\rvert dx$ 。