微积分 · 追问笔记
THE CALCULUS LIFESAVER / 第 19 章

积分技巧（二）

处理三角幂、根式换元与递推积分，并形成选法顺序。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 409–430

先修：第 2、18 章：三角恒等式与换元

这一章怎么读
  1. 先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
  2. 卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
  3. 独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录19.1 恒等式的使用19.2.1 正余弦幂积分19.2.2–19.2.6 正切、正割与递推19.3 三角换元与平方根19.4 积分方法总览
追问 01

19.1 恒等式的使用

根号里的 1−cos⁡2x1-\cos^2x 能直接开成 sin⁡x\sin x 吗？

先看一个提示

平方根始终非负。

展开推理与讲解

先变成 sin⁡2x=∣sin⁡x∣\sqrt{\sin^2x}=\lvert\sin x\rvert，再按积分区间判符号。含 1±sin⁡x1\pm\sin x、1±cos⁡x1\pm\cos x 等分母时，乘共轭可能引出平方恒等式。1−cos⁡x1-\cos x 与 1−cos⁡2x1-\cos^2x 用的是不同恒等式，差一个平方也会改变方法。

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2,\quad\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2
追问 02

19.2.1 正余弦幂积分

为什么奇数幂通常比偶数幂容易？

先看一个提示

留一个正弦或余弦因子，可以形成微分。

展开推理与讲解

若正弦幂为奇数，留 sin⁡xdx\sin xdx，其余用 1−cos⁡2x1-\cos^2x，设 u=cos⁡xu=\cos x；余弦幂奇数同理。两者均偶数时用半角降幂。适用的是非负整数幂的常用流程，负幂和分式可能需要先转换。

∫sin⁡2k+1xcos⁡mx dx=−∫(1−u2)kumdu\int\sin^{2k+1}x\cos^mx\,dx=-\int(1-u^2)^ku^mdu
追问 03

19.2.2–19.2.6 正切、正割与递推

积分中该保留 sec⁡2x\sec^2x 还是 sec⁡xtan⁡x\sec x\tan x？

先看一个提示

看它们分别是谁的导数。

展开推理与讲解

正割偶次幂常留 sec⁡2x\sec^2x 后令 u=tan⁡xu=\tan x；正切奇次幂且有正割因子时可留 sec⁡xtan⁡x\sec x\tan x，令 u=sec⁡xu=\sec x。只剩正切幂可用 tan⁡2=sec⁡2−1\tan^2=\sec^2-1 降次；余切、余割有类似路线但注意负号。递推公式通常由分部积分产生。

In=∫sin⁡nx dx=−sin⁡n−1xcos⁡xn+n−1nIn−2(n≥2)I_n=\int\sin^nx\,dx=-\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad(n\ge2)
追问 04

19.3 三角换元与平方根

三种二次根式为什么需要三种代换？

先看一个提示

分别对应 1−sin⁡21-\sin^2、1+tan⁡21+\tan^2、sec⁡2−1\sec^2-1。

展开推理与讲解

a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 取 x=asin⁡θx=a\sin\theta；x2+a2\sqrt{x^2+a^2} 取 x=atan⁡θx=a\tan\theta；x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 常取 x=asec⁡θx=a\sec\theta，但必须按原定义域选择角区间与符号。二次式先配方再移变量。回代可用三角形，也可直接代数转换。

a2−a2sin⁡2θ=a2cos⁡2θ,a2+a2tan⁡2θ=a2sec⁡2θa^2-a^2\sin^2\theta=a^2\cos^2\theta,\quad a^2+a^2\tan^2\theta=a^2\sec^2\theta
追问 05

19.4 积分方法总览

怎样避免对一道积分无目的地试公式？

先看一个提示

先观察结构，再做成本最低的化简。

展开推理与讲解

检查基本反导、常数因子与恒等式；寻找内函数导数；乘积考虑分部；有理式考虑除法及部分分式；二次根式考虑配方和三角换元。得到原函数后求导检查。某些连续函数没有初等原函数，此时定积分仍有意义，可用数值或级数估计。

结构识别→化简→积分→求导核验\text{结构识别}\to\text{化简}\to\text{积分}\to\text{求导核验}

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 19.1 · 原书 p. 411（PDF 第 436 页）↗

计算 ∫0π1−cos⁡2x dx\int_0^\pi\sqrt{1-\cos^2x}\,dx。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

先用平方恒等式，再处理绝对值。

提示二 · 关键转折

在 [0,π][0,\pi] 上正弦非负。

参考解答 · 完成尝试后再展开

被积函数为 ∣sin⁡x∣=sin⁡x\lvert\sin x\rvert=\sin x，积分 [−cos⁡x]0π=2[-\cos x]_0^\pi=2。如果区间改为 [0,2π][0,2\pi]，应分段，答案会是 4 而不是 0。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 19.3.1 · 原书 p. 423（PDF 第 448 页）↗

计算 ∫x2/(9−x2)3/2 dx\int x^2/(9-x^2)^{3/2}\,dx，限定 −3<x<3-3<x<3。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

令 x=3sin⁡θx=3\sin\theta 且 −π/2<θ<π/2-\pi/2<\theta<\pi/2。

提示二 · 关键转折

积分化为 ∫tan⁡2θ dθ\int\tan^2\theta\,d\theta。

参考解答 · 完成尝试后再展开

得到 tan⁡θ−θ+C\tan\theta-\theta+C，回代为 x/9−x2−arcsin⁡(x/3)+Cx/\sqrt{9-x^2}-\arcsin(x/3)+C。所选区间使 cos⁡θ>0\cos\theta>0，因此开平方时没有遗漏绝对值符号。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 19.2 · 本笔记编写

计算 ∫sin⁡3xcos⁡2x dx\int\sin^3x\cos^2x\,dx。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

留一个正弦作微分。

提示二 · 关键转折

设 u=cos⁡xu=\cos x，du=−sin⁡xdxdu=-\sin xdx。

参考解答 · 完成尝试后再展开

积分为 −∫(1−u2)u2du=−u3/3+u5/5+C-\int(1-u^2)u^2du=-u^3/3+u^5/5+C，即 −cos⁡3x/3+cos⁡5x/5+C-\cos^3x/3+\cos^5x/5+C。求导可以核验负号。

学习闭环

过关自查

写一段自己的章节总结

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