THE CALCULUS LIFESAVER / 第 26 章

泰勒与幂级数：解题方法

求完整收敛区间，用已知级数构造新级数并计算导数与极限。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 551–574

先修：第 22–25 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

26.1 半径与端点 26.2.1 替换变量 26.2.2–26.2.3 逐项微积分 26.2.4–26.2.6 加减乘除 26.3–26.4 导数与高阶极限

追问 01

26.1 半径与端点

比值法给 $\lvert x-a\rvert< R$ 后，题目完成了吗？

先看一个提示

两个边界恰好落在比值判别无结论的位置。

展开推理与讲解

把 $x$ 当参数、对下标 $n$ 求比值或根值极限，得到收敛半径。内部绝对收敛、外部发散；有限半径的两个端点分别代回原级数，使用普通级数判别。半径为零时仅中心收敛，为无穷时所有实数收敛。

L=\lim\lvert a_{n+1}/a_n\rvert\Longrightarrow R=1/L\quad(0<L<\infty)

继续追问：同半径的两个级数端点行为可否完全不同？

核对这一步的回答

可以。例如 $1/(n\ln n)$ 系数与 $1/[n(\ln n)^2]$ 系数的级数半径相同，端点却不同。

追问 02

26.2.1 替换变量

把几何级数中的 $x$ 换成 $-x^2$ ，范围也跟着变吗？

先看一个提示

原条件要作用在整个新表达式上。

展开推理与讲解

替换内变量时同时替换每一项和收敛条件。 $1/(1+x^2)=\sum(-1)^nx^{2n}$ 的条件来自 $\lvert-x^2\rvert<1$ 。平移中心、缩放变量会改变半径；不能保留原来的范围不动。

\frac1{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n\ (\lvert u\rvert<1)

继续追问：若 $u=3(x-2)$ ，展开中心和半径各是多少？

核对这一步的回答

中心为 2，条件 $\lvert3(x-2)\rvert<1$ 给半径 $1/3$ 。

追问 03

26.2.2–26.2.3 逐项微积分

无穷多项能否逐项求导、积分？

先看一个提示

对幂级数，在收敛半径内部有专门定理保证。

展开推理与讲解

幂级数在内部可逐项微分和积分，半径不变，但端点敛散性可能改变，需要重查。积分后的常数用已知函数值确定。由几何级数积分可以推导对数和反正切展开，避免重复求很多阶导数。

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}\ (-1<x\le1),\quad\arctan x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}\ (\lvert x\rvert\le1)

继续追问：端点处“和等于函数值”还应通过连续极限等理由说明吗？

核对这一步的回答

需要。区间内部逐项积分不自动证明端点相等，可用相应的端点连续极限定理与独立收敛检验。

追问 04

26.2.4–26.2.6 加减乘除

两个级数相乘，某一阶系数从哪里来？

先看一个提示

把所有次数之和等于该阶的项配对。

展开推理与讲解

加减先按同一中心、同次幂对齐；乘法按卷积收集系数，在共同绝对收敛区间内可操作；除法在分母常数项非零时用待定系数递推。只需有限阶展开时，高于所需阶的项可舍去，但必须保留能影响目标阶的所有交叉项。

c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}

继续追问：为什么计算乘积的四阶项不能只乘两个四阶项？

核对这一步的回答

应收集零加四、一加三、二加二、三加一、四加零的组合；四加四是八阶项。

追问 05

26.3–26.4 导数与高阶极限

知道某个系数，如何恢复高阶导数？

先看一个提示

泰勒系数里已经除过阶乘。

展开推理与讲解

中心处 $n$ 阶导数等于对应系数乘 $n!$ 。极限题把分子分母展开到首次非零阶，保留足够余项，比较首项系数和阶数。若所有显示项都抵消，说明展开不够深，不是答案自动为零。

f^{(n)}(a)=n!a_n,\quad\frac{Ax^p+o(x^p)}{Bx^p+o(x^p)}\to A/B\ (B\ne0)

继续追问：若分子比分母高两阶，极限通常怎样？

核对这一步的回答

若分母首项系数非零，商含额外 $x^2$ ，通常趋零。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 26.1.2 · 原书 p. 555（PDF 第 580 页）↗

求 $\sum_{n=2}^\infty x^n/(n\ln n)$ 的完整收敛区间与端点类型。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

比值极限为 $\lvert x\rvert$ 。

提示二 · 关键转折

$x=1$ 用积分判别， $x=-1$ 用交错判别。

参考解答 · 完成尝试后再展开

半径为 1；内部绝对收敛。 $x=1$ 对应 $\sum1/(n\ln n)$ ，发散； $x=-1$ 幅度递减到零，条件收敛。因此收敛区间为 $[-1,1)$ 。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 26.4 · 原书 p. 571（PDF 第 596 页）↗

求 $\lim_{x\to0}[e^{-x^2}+x^2\cos x-1]/[1-\cos(2x^3)]$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

低阶项会大量抵消，需要至少保留六阶。

提示二 · 关键转折

分子六阶系数为 $-1/6+1/24=-1/8$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

分子 $=-x^6/8+O(x^8)$ ，分母 $=2x^6+O(x^{12})$ ，同除以 $x^6$ ，极限为 $-1/16$ 。只展开到四阶会看不见关键项。

练习 3 / 3

原书练习重述 · 26.2.6 · 原书 p. 568（PDF 第 593 页）↗

用正弦与余弦级数相除，求 $\tan x$ 到四阶的展开。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

设 $\tan x=ax+bx^3+O(x^5)$ 。

提示二 · 关键转折

乘回 $\cos x=1-x^2/2+O(x^4)$ ，与 $\sin x$ 比较。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$a=1$ ， $b-a/2=-1/6$ ，得 $b=1/3$ 。所以 $\tan x=x+x^3/3+O(x^5)$ ，二阶、四阶系数因奇对称为零。

学习闭环

过关自查

我能说清：求完整收敛区间，用已知级数构造新级数并计算导数与极限。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

泰勒与幂级数：解题方法

26.1 半径与端点

26.2.1 替换变量

26.2.2–26.2.3 逐项微积分

26.2.4–26.2.6 加减乘除

26.3–26.4 导数与高阶极限

本章练习 · 先尝试，再揭示

求 ∑n=2∞xn/(nln⁡n)\sum_{n=2}^\infty x^n/(n\ln n)∑n=2∞​xn/(nlnn) 的完整收敛区间与端点类型。

求 lim⁡x→0[e−x2+x2cos⁡x−1]/[1−cos⁡(2x3)]\lim_{x\to0}[e^{-x^2}+x^2\cos x-1]/[1-\cos(2x^3)]limx→0​[e−x2+x2cosx−1]/[1−cos(2x3)]。

用正弦与余弦级数相除，求 tan⁡x\tan xtanx 到四阶的展开。

过关自查

求 $\sum_{n=2}^\infty x^n/(n\ln n)$ 的完整收敛区间与端点类型。

求 $\lim_{x\to0}[e^{-x^2}+x^2\cos x-1]/[1-\cos(2x^3)]$ 。

用正弦与余弦级数相除，求 $\tan x$ 到四阶的展开。