指数与对数

底数 $b>0,b\ne1$，$\log_bx=y$ 表示 $b^y=x$，实数对数要求 $x>0$。乘积、商、幂的对数规则来自指数运算。对数不把加法变成加法；$\ln(u+v)$ 一般不能拆。换底能把一切底数归到自然对数。

单位本金、单位年利率、一年计息 $n$ 次的金额是 $(1+1/n)^n$，极限定义出自然常数 $e$。更一般的连续复利得到 $e^r$。指数底数选成 $e$ 的好处，是在零附近指数增量与输入增量比例趋于 1。

链式法则给出复合指数与对数导数。零附近 $e^u-1\sim u$，1 附近可用 $\ln(1+u)\sim u$。正无穷远处，对任意固定正数 $p,q$，$\ln^q x/x^p\to0$，而多项式除以正增长指数也趋零。负无穷及零附近先变换变量再比较。

对于 $y=u(x)^{v(x)}$，先取对数得到 $\ln y=v\ln u$，求导后再乘回 $y$。乘除多项式与根式很多时，对数求导也能减轻运算。固定指数幂法则不能忽略变化的指数所贡献的项。

模型是 $y'=ky$，解为 $y_0e^{kt}$。$k>0$ 增长，$k<0$ 衰减；由两次测量可求 $k$。翻倍时间为 $\ln2/k$，衰减半衰期为 $\ln2/\lvert k\rvert$。模型假设比例系数不随时间变，不代表任何真实过程永远指数增长。

$\sinh$ 为奇函数，$\cosh$ 为偶函数，$\tanh=\sinh/\cosh$。相似之处包括导数互相关联，不同之处是平方恒等式中为差而非和。$\cosh x\ge1$，$\tanh$ 的值域为 $(-1,1)$。其余双曲函数是相应倒数。