THE CALCULUS LIFESAVER / 第 2 章

三角学复习

从单位圆推导三角函数的符号、周期、图像与恒等式。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 25–40

先修：第 1 章：定义域与函数图像

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

2.1 弧度与基本比值 2.2 扩展到任意角 2.3 图像、周期与禁区 2.4 恒等式

追问 01

2.1 弧度与基本比值

为什么微积分偏爱弧度？

先看一个提示

半径为 1 时，弧长就是角度数值。

展开推理与讲解

弧度把角与长度直接联系起来：弧长除以半径得到角度。直角三角形中正弦是对边比斜边、余弦是邻边比斜边、正切是对边比邻边。牢记 $0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2$ 的正余弦值；后面导数公式默认弧度，角度制会多出比例因子。

s=r\theta,\quad \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

继续追问：半径加倍而角度不变，弧长如何改变？

核对这一步的回答

弧长 $s=r\theta$ 随半径同比例变化，所以加倍。

追问 02

2.2 扩展到任意角

第三象限的正弦为什么是负数？

先看一个提示

把正弦理解成单位圆点的纵坐标。

展开推理与讲解

单位圆上点为 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 。参考角决定绝对值，象限决定正负：第一象限全正，第二象限正弦正，第三象限正切正，第四象限余弦正。角度超出一圈时加减 $2\pi$ ，负角表示反方向旋转；不要把参考角当成原角。

\sin(\theta+2k\pi)=\sin\theta,\quad\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta

继续追问：正切为什么只需加减 $\pi$ 就重复？

核对这一步的回答

正余弦经过半圈都变号，商保持不变，所以正切周期为 $\pi$ 。

追问 03

2.3 图像、周期与禁区

正弦没有竖直渐近线，正切为什么有？

先看一个提示

正切的分母什么时候为零？

展开推理与讲解

正弦和余弦值域为 $[-1,1]$ ，周期为 $2\pi$ 。正切在 $\pi/2+k\pi$ 不定义，周期为 $\pi$ 。余割、正割、余切分别为正弦、余弦、正切的倒数，在原分母为零处排除。 $A\sin(Bx+C)$ 的振幅为 $\lvert A\rvert$ 、周期为 $2\pi/\lvert B\rvert$ （ $B\ne0$ ）。

\sec x=1/\cos x,\quad\csc x=1/\sin x,\quad\cot x=\cos x/\sin x

继续追问：水平缩放会不会改变函数的值域？

核对这一步的回答

不会；非零水平缩放只改变达到各输出的位置，外部幅度系数才改变振幅。

追问 04

2.4 恒等式

怎样从单位圆得到积分时最常用的恒等式？

先看一个提示

先写圆的方程，再分别除以正弦或余弦的平方。

展开推理与讲解

勾股恒等式产生三组平方关系；和角公式进一步给出倍角与半角公式。计算时先判断需要减少角的倍数、消去平方，还是把积变成和。恒等变形仅在两边都有定义的地方使用，例如除以余弦会排除余弦为零的点。

\sin^2x+\cos^2x=1,\quad1+\tan^2x=\sec^2x,\quad1+\cot^2x=\csc^2x

；

\sin2x=2\sin x\cos x,\quad\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1

继续追问：由和角公式能否推导 $\sin(a-b)$ ？

核对这一步的回答

把 $b$ 换成 $-b$ ，用奇偶性得 $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ 。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 2.2–2.2.1 · 原书 p. 31（PDF 第 56 页）↗

计算 $\sin(7\pi/6)$ 、 $\cos(7\pi/6)$ 和 $\tan(7\pi/6)$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

这是哪个象限？

提示二 · 关键转折

参考角是 $\pi/6$ ，第三象限的两个坐标均为负。

参考解答 · 完成尝试后再展开

依次为 $-1/2,-\sqrt3/2,1/\sqrt3$ 。正切由两负数相除得到正值；只记参考角而忘记象限，会把前两项的符号写反。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 2.2.1 · 原书 p. 33（PDF 第 58 页）↗

用锐角的正切表示 $\tan(9\pi/13)$ ，保留精确形式。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

$1/2<9/13<1$ 。

提示二 · 关键转折

第二象限参考角等于 $\pi$ 减去原角。

参考解答 · 完成尝试后再展开

参考角是 $4\pi/13$ ，第二象限正切为负，故为 $-\tan(4\pi/13)$ 。没有常用特殊角值也已是有效精确答案，无须把计算器小数当成等号右边的精确值。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 2.3–2.4 · 本笔记编写

求 $3\sin(2x-\pi)$ 的振幅、周期，并将 $\sin^2x$ 化为含 $\cos2x$ 的式子。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

振幅看外面的系数；周期看自变量系数。

提示二 · 关键转折

从 $\cos2x=1-2\sin^2x$ 解出平方项。

参考解答 · 完成尝试后再展开

振幅 3，周期 $\pi$ ；相位可写为 $2(x-\pi/2)$ ，表示向右移动 $\pi/2$ 。平方恒等式为 $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ 。

学习闭环

过关自查

我能说清：从单位圆推导三角函数的符号、周期、图像与恒等式。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

三角学复习

2.1 弧度与基本比值

2.2 扩展到任意角

2.3 图像、周期与禁区

2.4 恒等式

本章练习 · 先尝试，再揭示

计算 sin⁡(7π/6)\sin(7\pi/6)sin(7π/6)、cos⁡(7π/6)\cos(7\pi/6)cos(7π/6) 和 tan⁡(7π/6)\tan(7\pi/6)tan(7π/6)。

用锐角的正切表示 tan⁡(9π/13)\tan(9\pi/13)tan(9π/13)，保留精确形式。

求 3sin⁡(2x−π)3\sin(2x-\pi)3sin(2x−π) 的振幅、周期，并将 sin⁡2x\sin^2xsin2x 化为含 cos⁡2x\cos2xcos2x 的式子。

过关自查

计算 $\sin(7\pi/6)$ 、 $\cos(7\pi/6)$ 和 $\tan(7\pi/6)$ 。

用锐角的正切表示 $\tan(9\pi/13)$ ，保留精确形式。

求 $3\sin(2x-\pi)$ 的振幅、周期，并将 $\sin^2x$ 化为含 $\cos2x$ 的式子。