THE CALCULUS LIFESAVER / 第 8 章

隐函数求导与相关变化率

在不显式解出函数时求斜率，并从几何约束建立变化率方程。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 149–166

先修：第 6–7 章：链式法则与三角求导

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

8.1 隐函数求导 8.1.2 二阶隐导数 8.2 相关变化率的建模 8.2.2–8.2.4 多变量与复杂几何

追问 01

8.1 隐函数求导

圆不是一个全局函数，为什么仍能讨论切线？

先看一个提示

在某些点附近，可以选定上半圆或下半圆作为局部函数。

展开推理与讲解

把 $y$ 看成随 $x$ 变化的量，两边同时对 $x$ 求导。 $y^2$ 的导数是 $2yy'$ ，不是 $2y$ 。收集含 $y'$ 的项再解出；所得公式只在曲线上及分母非零处适用，分母为零时要回到几何与原方程判断。

F(x,y)=0\Longrightarrow y'=-\frac{F_x}{F_y}\quad(F_y\ne0)

继续追问：在圆的左右端点，上述分式为什么不能给有限斜率？

核对这一步的回答

这些点的 $y=0$ ，斜率式分母为零；几何切线是竖直线，不能用有限 $dy/dx$ 表示。

追问 02

8.1.2 二阶隐导数

再求一次导数，为什么会出现 $(y')^2$ ？

先看一个提示

对 $\cos y\cdot y'$ 用乘积法则。

展开推理与讲解

第二次求导时 $y$ 与 $y'$ 都是变量。对 $2yy'$ 求导会得到 $2(y')^2+2yy''$ 。完成求导后才代入点坐标与已求的一阶导数。 $(y')^2$ 是斜率的平方， $y''$ 是斜率的变化率，不能混写。

\frac d{dx}(yy')=(y')^2+yy''

继续追问：如果一开始代入点坐标，把变量变成常数，会丢失什么？

核对这一步的回答

会把变化量冻结，无法得到邻近点随变量变化的规律，也就无法正确求导。

追问 03

8.2 相关变化率的建模

几何关系如何变成速度关系？

先看一个提示

先写随时间始终成立的等式。

展开推理与讲解

列出变量、单位、已知变化率和所求量，画图并建立几何方程。必要时用相似三角形消去变量。对时间求导，最后代入瞬间数据。流出和下降应有负号；长度、面积、体积的变化率单位不同。

V=\frac43\pi r^3\Longrightarrow\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}

继续追问：体积匀速增加是否意味着半径匀速增加？

核对这一步的回答

不一定。这里 $\dot r=\dot V/(4\pi r^2)$ ，随半径变大而减小。

追问 04

8.2.2–8.2.4 多变量与复杂几何

如果一个方程里未知变化率太多，怎么办？

先看一个提示

寻找额外的约束，而不是立即代数求解。

展开推理与讲解

梯子、影子、锥形水槽和角度追踪题都可拆为约束网络。先用勾股关系、相似关系或三角关系连接变量，再求导得到线性变化率方程组。题给的某个长度可能只在所问瞬间成立，不可把它当作恒定约束。

x^2+y^2=L^2\Longrightarrow x\dot x+y\dot y=0\quad(L\text{ 恒定})

继续追问：什么情况下右侧还应有 $L\dot L$ ？

核对这一步的回答

当长度 $L$ 也随时间变化时；只有 $L$ 恒定才可将右侧写成零。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 8.1.1 · 原书 p. 150（PDF 第 175 页）↗

求圆 $x^2+y^2=4$ 在 $(1,\sqrt3)$ 的切线。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先隐式求导，再代入。

提示二 · 关键转折

$2x+2yy'=0$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$y'=-x/y$ ，该点斜率 $-1/\sqrt3$ ，切线为 $y-\sqrt3=-(x-1)/\sqrt3$ 。可化为 $x+\sqrt3y=4$ ，并用半径与切线垂直验证。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 8.2.1 · 原书 p. 157（PDF 第 182 页）↗

球形气球以 $12\pi$ 立方英寸/秒进气。求半径为 2 英寸时的半径增长率，以及体积为 $36\pi$ 立方英寸时的增长率。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先对球体积公式求导。

提示二 · 关键转折

得到 $\dot r=3/r^2$ ；第二问先由体积求半径。

参考解答 · 完成尝试后再展开

半径为 2 时 $\dot r=3/4$ 英寸/秒。 $4\pi r^3/3=36\pi$ 给出 $r=3$ ，故第二问 $\dot r=1/3$ 英寸/秒。半径越大，同样进气量造成的半径增量越小。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 8.1.2 · 本笔记编写

求圆 $x^2+y^2=4$ 在上半圆的二阶导数。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

从 $x+yy'=0$ 再求导。

提示二 · 关键转折

得到 $1+(y')^2+yy''=0$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$y''=-(1+(y')^2)/y=-(x^2+y^2)/y^3=-4/y^3$ 。在上半圆 $y>0$ ，二阶导数负，与图像凹向下吻合。

学习闭环

过关自查

我能说清：在不显式解出函数时求斜率，并从几何约束建立变化率方程。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

隐函数求导与相关变化率

8.1 隐函数求导

8.1.2 二阶隐导数

8.2 相关变化率的建模

8.2.2–8.2.4 多变量与复杂几何

本章练习 · 先尝试，再揭示

求圆 x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 在 (1,3)(1,\sqrt3)(1,3​) 的切线。

球形气球以 12π12\pi12π 立方英寸/秒进气。求半径为 2 英寸时的半径增长率，以及体积为 36π36\pi36π 立方英寸时的增长率。

求圆 x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 在上半圆的二阶导数。

过关自查

求圆 $x^2+y^2=4$ 在 $(1,\sqrt3)$ 的切线。

球形气球以 $12\pi$ 立方英寸/秒进气。求半径为 2 英寸时的半径增长率，以及体积为 $36\pi$ 立方英寸时的增长率。

求圆 $x^2+y^2=4$ 在上半圆的二阶导数。