函数、图像与直线

函数必须为每个允许的输入指定唯一输出。定义域是允许输入的集合，陪域是预先指定的输出集合，值域是实际达到的输出。求自然定义域时，要同时满足分母非零、偶次根号内非负、对数真数为正；最后取交集。区间圆括号排除端点，方括号包含端点，无穷大不能作可取端点。竖线检验判断一个图像是否为函数。

反函数要求原函数在所用定义域上一一对应到其值域；图像满足水平线检验。先写 $y=f(x)$，解出 $x$，再交换变量角色。反函数的定义域等于原函数值域，图像关于 $y=x$ 对称。平方函数限制在 $[0,\infty)$ 后反函数是正平方根，限制在 $(-\infty,0]$ 后则是负平方根。

复合从内层向外层执行，外层必须接受内层输出。$f(x)=x^2,g(x)=\sqrt{x}$ 时，$f(g(x))=x$ 仅在 $x\ge0$ 上成立，而 $g(f(x))=\lvert x\rvert$ 在全体实数上成立。公式约简不能自动扩大原表达式定义域。

偶函数关于纵轴对称，奇函数关于原点对称；两者都要求定义域关于零对称。常见偶函数有平方、绝对值，奇函数有立方。零函数既奇又偶；大多数函数两者都不是。检验不能只靠几个点，也不能忽略定义域。

斜率是变化比，点斜式比死记截距更直接。复习幂函数、倒数函数、指数和对数图像时，依次找定义域、截距、正负、对称和端部趋势。$\lvert f(x)\rvert$ 把横轴下方图像向上翻折；$f(\lvert x\rvert)$ 则把右半幅镜像到左边，两种操作不同。