THE CALCULUS LIFESAVER / 第 3 章

极限入门

区分函数值与邻近趋势，并用单侧分析和夹逼法判断极限。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 41–56

先修：第 1–2 章：函数与三角函数

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

3.1 极限的对象 3.2–3.3 单侧极限与不存在 3.4–3.5 无穷远与渐近线 3.6–3.7 夹逼与分类

追问 01

3.1 极限的对象

一个点没有函数值，附近还能有明确趋势吗？

先看一个提示

把直线上的一个点挖掉，观察其他点。

展开推理与讲解

$x\to a$ 表示从允许的输入中任意接近 $a$ ，并且 $x\ne a$ ；极限关心邻近输出。改变单点函数值不会改变极限。用数表观察只能形成猜测，不能代替对所有足够接近的输入的论证。

\lim_{x\to a}f(x)=L

继续追问：如果只知道 $f(a)=L$ ，能否推出极限就是 $L$ ？

核对这一步的回答

不能。例如零点函数值为零、其余处为 1 时，零处极限是 1。

追问 02

3.2–3.3 单侧极限与不存在

左右都接近一个数，是否就有两侧极限？

先看一个提示

两边接近的数还必须相同。

展开推理与讲解

两侧有限极限存在当且仅当左右有限极限存在且相等。跳跃使左右不等；无限增大不产生有限极限；持续振荡也可能没有极限。描述“趋于无穷”比笼统写“不存在”更有信息，但无穷不是一个可代入的实数。

\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L

继续追问： $1/x$ 在零附近的两侧分别怎样？ $1/x^2$ 呢？

核对这一步的回答

$1/x$ 左趋负无穷、右趋正无穷，两侧极限不存在； $1/x^2$ 两侧都趋正无穷。

追问 03

3.4–3.5 无穷远与渐近线

图像能不能穿过水平渐近线？

先看一个提示

渐近线约束的是远处趋势，不是所有位置。

展开推理与讲解

无穷远极限研究输入向正负方向无界增长时的输出。水平渐近线 $y=L$ 允许被穿越，甚至反复穿越；竖直渐近线来自某一侧函数值趋于正负无穷。函数值非常小不等于等于零，函数值非常大也不等于无穷。

\lim_{x\to\infty}\frac1x=0,\qquad\lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty

继续追问：能否让 $f(x)-L$ 变号无数次，但仍趋于零？

核对这一步的回答

能，例如 $f(x)=L+\sin x/x$ 在无穷远满足要求。

追问 04

3.6–3.7 夹逼与分类

振荡函数乘一个很小的量，会怎样？

先看一个提示

先把振荡的幅度夹在简单函数之间。

展开推理与讲解

若邻近点上 $g\le f\le h$ 且两侧界函数都趋于同一有限值，则中间函数也趋于该值。处理符号未知的输入，用绝对值界往往最稳妥。夹逼也能用于单侧和无穷远极限。做题先注明趋向点、方向和候选类型，再选择工具。

\lvert x\sin(1/x)\rvert\le\lvert x\rvert\to0

继续追问：为什么仅有“函数有界”不足以证明它有极限？

核对这一步的回答

$\sin(1/x)$ 有界却不在零附近趋于唯一值，说明还需要更强控制。

动手观察

夹逼实验：缩小观察窗口

观察绿色曲线如何被两条金色边界压向原点。横轴窗口缩小，并不是减少振荡频率。

调节参数

图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 3.1 · 原书 p. 41（PDF 第 66 页）↗

设 $f(x)=x-1$ ，但定义域排除 2。求 $x\to2$ 时的极限，并说明 $f(2)$ 的情况。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

极限是否要求真的把 2 输入函数？

提示二 · 关键转折

所有邻近但不等于 2 的输入仍按直线规则计算。

参考解答 · 完成尝试后再展开

极限是 1，而 $f(2)$ 未定义。证明可写成 $\lvert f(x)-1\rvert=\lvert x-2\rvert\to0$ 。若另定义 $f(2)=100$ ，极限仍为 1。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 3.6 · 原书 p. 52（PDF 第 77 页）↗

求 $\lim_{x\to0^+}x\sin(1/x)$ ，再把结论扩展到两侧。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

不要试图先求 $\sin(1/x)$ 的极限。

提示二 · 关键转折

对正 $x$ 有 $-x\le x\sin(1/x)\le x$ ；两侧可用绝对值。

参考解答 · 完成尝试后再展开

右极限由夹逼等于 0。进一步，任意非零 $x$ 都有 $\lvert x\sin(1/x)\rvert\le\lvert x\rvert$ ，所以两侧极限也是 0。第二问是对原例的延伸。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 3.2–3.5 · 本笔记编写

判断 $\lim_{x\to0}\lvert x\rvert/x$ ，并说明 $\sin x/x$ 在无穷远是否可以有水平渐近线。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一题按正负拆开；第二题看振幅。

提示二 · 关键转折

$\lvert\sin x/x\rvert\le1/\lvert x\rvert$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一题右极限 1、左极限 -1，因此两侧极限不存在。第二题在正负无穷远都趋于 0；图像在非零整数倍 $\pi$ 处穿过 $y=0$ ，不妨碍它是水平渐近线。

学习闭环

过关自查

我能说清：区分函数值与邻近趋势，并用单侧分析和夹逼法判断极限。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

极限入门

3.1 极限的对象

3.2–3.3 单侧极限与不存在

3.4–3.5 无穷远与渐近线

3.6–3.7 夹逼与分类

夹逼实验：缩小观察窗口

本章练习 · 先尝试，再揭示

设 f(x)=x−1f(x)=x-1f(x)=x−1，但定义域排除 2。求 x→2x\to2x→2 时的极限，并说明 f(2)f(2)f(2) 的情况。

求 lim⁡x→0+xsin⁡(1/x)\lim_{x\to0^+}x\sin(1/x)limx→0+​xsin(1/x)，再把结论扩展到两侧。

判断 lim⁡x→0∣x∣/x\lim_{x\to0}\lvert x\rvert/xlimx→0​∣x∣/x，并说明 sin⁡x/x\sin x/xsinx/x 在无穷远是否可以有水平渐近线。

过关自查

设 $f(x)=x-1$ ，但定义域排除 2。求 $x\to2$ 时的极限，并说明 $f(2)$ 的情况。

求 $\lim_{x\to0^+}x\sin(1/x)$ ，再把结论扩展到两侧。

判断 $\lim_{x\to0}\lvert x\rvert/x$ ，并说明 $\sin x/x$ 在无穷远是否可以有水平渐近线。