微积分 · 追问笔记
THE CALCULUS LIFESAVER / 第 15 章

积分入门

从有限求和与小段位移理解累积量，为定积分定义做准备。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 307–324

先修：第 3、6 章：极限和速度

这一章怎么读
  1. 先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
  2. 卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
  3. 独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录15.1 求和符号15.1.1 常用和式15.1.2 望远镜求和15.2 位移、有向面积与近似
追问 01

15.1 求和符号

求和下标是变量还是整个式子的输入？

先看一个提示

把每个指定整数逐一代入并相加。

展开推理与讲解

求和指标是哑变量，换名字不改数值；换起点则必须同时调整通项。检查首项、末项、项数能防止偏移错误。有限求和可分配常数倍与加减，但乘积之和一般不能拆为两个和的乘积。

∑j=mnaj=am+⋯+an(n−m+1 项)\sum_{j=m}^n a_j=a_m+\cdots+a_n\quad(n-m+1\text{ 项})
追问 02

15.1.1 常用和式

从 1 加到 nn，怎样避免逐项相加？

先看一个提示

正序与倒序相加，每一对都相同。

展开推理与讲解

两个和逐项配成 n+1n+1，总共 nn 对，再除以 2。平方和与立方和也很常用，但使用前检查上下限。本章后面的面积极限会把这些公式中的 nn 与小区间宽度组合。

∑j=1nj=n(n+1)2,∑j=1nj2=n(n+1)(2n+1)6,∑j=1nj3=(n(n+1)2)2\sum_{j=1}^n j=\frac{n(n+1)}2,\quad\sum_{j=1}^n j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\quad\sum_{j=1}^n j^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2
追问 03

15.1.2 望远镜求和

一大串差为什么只剩头尾？

先看一个提示

把头三项和尾两项真正展开。

展开推理与讲解

相邻正负项可消去，留下边界项。关键是对齐偏移下标。对一般差 f(j)−f(j−1)f(j)-f(j-1)，末端留下 f(n)f(n)，起端留下 −f(m−1)-f(m-1)。不要因为中间项用省略号表示就忘记它们仍参与抵消。

∑j=mn[f(j)−f(j−1)]=f(n)−f(m−1)\sum_{j=m}^n[f(j)-f(j-1)]=f(n)-f(m-1)
追问 04

15.2 位移、有向面积与近似

速度变化时，怎样估计一段时间的位移？

先看一个提示

把时间分小段，在每段暂时当作匀速。

展开推理与讲解

每段位移近似为速度乘时间宽度，求和得到总位移近似。速度负时矩形面积按负号计；若算路程，则先取速度绝对值。左端、右端和中点取样给不同近似，分割越来越细时在合适条件下趋于共同积分。

Δs≈∑jv(cj)Δtj,路程≈∑j∣v(cj)∣Δtj\Delta s\approx\sum_jv(c_j)\Delta t_j,\quad\text{路程}\approx\sum_j\lvert v(c_j)\rvert\Delta t_j

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 15.1.1 · 原书 p. 310（PDF 第 335 页）↗

计算 ∑j=1100j\sum_{j=1}^{100}j，并将它改写为从 0 开始的求和。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

正序倒序配对。

提示二 · 关键转折

新下标从 0 到 99，通项加 1。

参考解答 · 完成尝试后再展开

结果 100⋅101/2=5050100\cdot101/2=5050，改写为 ∑j=099(j+1)\sum_{j=0}^{99}(j+1)。下标变动后首项仍是 1、末项仍是 100，共 100 项。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 15.1.2 · 原书 p. 312（PDF 第 337 页）↗

证明 ∑j=1n(2j−1)=n2\sum_{j=1}^n(2j-1)=n^2。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

把奇数改写成相邻平方之差。

提示二 · 关键转折

2j−1=j2−(j−1)22j-1=j^2-(j-1)^2。

参考解答 · 完成尝试后再展开

求和后中间平方全部抵消，只剩 n2−02=n2n^2-0^2=n^2。这说明前 nn 个正奇数之和为平方数，也可用逐层添加方形边框理解。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 15.2 · 本笔记编写

物体前 2 秒速度为 3 米/秒，后 1 秒为 -4 米/秒。求位移与路程。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

把每段速度乘各自的持续时间。

提示二 · 关键转折

路程先取绝对值。

参考解答 · 完成尝试后再展开

位移 3⋅2−4⋅1=23\cdot2-4\cdot1=2 米；路程 3⋅2+4⋅1=103\cdot2+4\cdot1=10 米。两者单位相同，但描述不同的累积量。

学习闭环

过关自查

写一段自己的章节总结

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