THE CALCULUS LIFESAVER / 第 18 章

积分技巧（一）

以换元、分部积分、部分分式三种结构化方法化简积分。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 383–408

先修：第 17 章：基本定理与反导数

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

18.1 换元法 18.1.2–18.1.3 如何选择换元 18.2 分部积分 18.3 部分分式的代数 18.3.2–18.3.3 分式积分与核验

追问 01

18.1 换元法

为什么“内部表达式”和它的导数一起出现是好信号？

先看一个提示

这是链式法则反向运行的痕迹。

展开推理与讲解

选择 $u=g(x)$ ，同时替换微分 $du=g'(x)dx$ ，让积分中所有变量一致。可以补偿常数倍，不能凭空丢掉可变因子。定积分若改成 $u$ ，上下限也应改成 $g(a),g(b)$ ；或先求原函数再全部换回 $x$ ，两种路线不能混用。

\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du

继续追问：为什么只替换函数而保留原来的 $dx$ 不完整？

核对这一步的回答

微分承载了变量尺度变化，漏换会使积分的变量和系数不一致。

追问 02

18.1.2–18.1.3 如何选择换元

每次见到根号都设根号为新变量，可靠吗？

先看一个提示

选择应使剩余部分和微分配合。

展开推理与讲解

优先尝试复合内部、分母、根式内部等候选，计算其导数后对照积分。换元合理性可由链式法则验证。对数型 $f'/f$ 是常用结构，原函数应有绝对值，并在分母非零的各区间使用。

\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln\lvert f(x)\rvert+C

继续追问：分子只比分母导数差一个常数倍时如何补偿？

核对这一步的回答

把常数倍提出积分号，或在 $du$ 的等式中补偿相应比例。

追问 03

18.2 分部积分

怎样把“乘积的积分”换成更简单的积分？

先看一个提示

积分乘积求导公式并移项。

展开推理与讲解

选 $u$ 为求导后更简单的部分，选 $dv$ 为容易积分的部分。多项式乘指数常逐次降次；只有对数或反三角时可把 1 当作另一因子。循环出现原积分时将其移到一侧解代数方程。选择没有唯一答案，以余下积分是否更简单为准。

\int u\,dv=uv-\int v\,du

继续追问：对 $xe^x$ 若取 $u=e^x$ ，会使问题怎样变化？

核对这一步的回答

剩余积分会含 $x^2e^x$ ，多项式次数上升，问题反而更复杂。

追问 04

18.3 部分分式的代数

什么样的分母因子决定分子该写什么？

先看一个提示

每个不可约因子的分子次数必须比它低。

展开推理与讲解

先做多项式除法，保证分子次数低于分母。线性因子配常数分子，重复因子的每次幂都列出；不可约二次因子配一次分子，重次幂同样逐层列出。清分母后比较系数或代特殊值得待定系数，不要直接猜积分。

\frac{P(x)}{(x-a)^2(x^2+1)}=\frac A{x-a}+\frac B{(x-a)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}

继续追问：只写最高次重复因子，为什么可能无法表示原有理式？

核对这一步的回答

原式可能同时含低次极点和高次极点，只给最高次一项会减少必要的自由系数。

追问 05

18.3.2–18.3.3 分式积分与核验

分解完成后，怎样处理二次分母？

先看一个提示

把分子拆成分母导数的倍数与常数。

展开推理与讲解

线性一次分母给对数，线性高次幂用幂法则；二次分母先配方，再分成对数型和反正切型，必要时继续换元。最后合并可合并的常数，保留原定义域；将答案求导能同时检查代数分解与积分系数。

\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\quad(a>0)

继续追问：为什么这个公式中的 $1/a$ 不能遗漏？

核对这一步的回答

因为 $\arctan(x/a)$ 的导数还要乘 $1/a$ ；合并后需要外面的 $1/a$ 才还原分母。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 18.1 · 原书 p. 385（PDF 第 410 页）↗

计算 $\int(3x^2+7)/(x^3+7x-9)\,dx$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

分子与分母有什么导数关系？

提示二 · 关键转折

令 $u=x^3+7x-9$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$du=(3x^2+7)dx$ ，积分化为 $\int du/u$ ，得 $\ln\lvert x^3+7x-9\rvert+C$ 。答案在分母非零的各个区间成立。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 18.2 · 原书 p. 394（PDF 第 419 页）↗

计算 $\int xe^x\,dx$ ，并解释你的 $u,dv$ 选择。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

多项式求导降次，指数积分不变复杂度。

提示二 · 关键转折

取 $u=x,dv=e^xdx$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$du=dx,v=e^x$ ，因此积分为 $xe^x-\int e^xdx=(x-1)e^x+C$ 。验证导数为 $e^x+(x-1)e^x=xe^x$ 。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 18.3 · 本笔记编写

计算 $\int dx/[x(x+1)]$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先拆部分分式。

提示二 · 关键转折

$1/[x(x+1)]=1/x-1/(x+1)$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

原函数为 $\ln\lvert x\rvert-\ln\lvert x+1\rvert+C$ ，亦可写成 $\ln\lvert x/(x+1)\rvert+C$ ；排除 $x=0,-1$ ，不同连通区间可以有不同常数。

学习闭环

过关自查

我能说清：以换元、分部积分、部分分式三种结构化方法化简积分。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

积分技巧（一）

18.1 换元法

18.1.2–18.1.3 如何选择换元

18.2 分部积分

18.3 部分分式的代数

18.3.2–18.3.3 分式积分与核验

本章练习 · 先尝试，再揭示

计算 ∫(3x2+7)/(x3+7x−9) dx\int(3x^2+7)/(x^3+7x-9)\,dx∫(3x2+7)/(x3+7x−9)dx。

计算 ∫xex dx\int xe^x\,dx∫xexdx，并解释你的 u,dvu,dvu,dv 选择。

计算 ∫dx/[x(x+1)]\int dx/[x(x+1)]∫dx/[x(x+1)]。

过关自查

计算 $\int(3x^2+7)/(x^3+7x-9)\,dx$ 。

计算 $\int xe^x\,dx$ ，并解释你的 $u,dv$ 选择。

计算 $\int dx/[x(x+1)]$ 。