反函数与反三角函数

在一个区间上，导数始终为正可保证严格递增，从而对值域有逆。若 $f(a)=b$ 且 $f'(a)\ne0$，反函数在对应点的斜率是其倒数。先找原函数中哪个输入对应 $b$，再代入导数，不能错误使用 $1/f'(b)$。

$\arcsin$ 值域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，$\arccos$ 为 $[0,\pi]$，$\arctan$ 为 $(-\pi/2,\pi/2)$。前两者定义域为 $[-1,1]$，导数在内部成立；反正切定义域为实数。通过隐式求导与主值区间的符号可推出公式。

按原书常用约定，反正割值域取 $[0,\pi]\setminus\{\pi/2\}$，反余割取 $[-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}$，反余切取 $(0,\pi)$。前两者输入满足 $\lvert x\rvert\ge1$。不同教材约定可能不同，计算前确认范围；嵌套三角函数可用参考角与三角形化简。

双曲正弦在实数上单调，双曲余弦需要限制到非负输入才取常用逆。反双曲正切的定义域为 $(-1,1)$。它们可以用对数与根式显式表示，再求导；反双曲正割、余割、余切可由倒数关系转换，仍要检查定义域。