THE CALCULUS LIFESAVER / 第 13 章

最优化与线性化

把文字约束变成单变量最值问题，并用切线进行带误差意识的近似。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 267–292

先修：第 11–12 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

13.1 最优化的建模 13.1 复杂几何与隐式优化 13.2 线性化与微分 13.2.4–13.3 误差与牛顿法

追问 01

13.1 最优化的建模

先对哪个量求导，才能得到想要的“最好”？

先看一个提示

先区分目标量、控制变量与约束。

展开推理与讲解

画图并为量命名，写目标表达式，再用约束消去其他变量，确定实际可行域。求临界点与边界候选，验证全局最值，最后用原问题的单位与语言回答。开放边界可能只有上确界而没有最大值；导数为零本身不是最优证明。

P=P(x),\quad x\in D_{\text{可行}}

继续追问：为什么公式有意义的所有输入不一定都符合题意？

核对这一步的回答

现实约束会进一步排除输入，例如两数都不超过 8 将本来可代入的实数限制到 $[2,8]$ 。

追问 02

13.1 复杂几何与隐式优化

无法轻易显式消元时还能优化吗？

先看一个提示

约束本身可以提供导数关系。

展开推理与讲解

围栏、容器、路径等题目中，长度关系、相似关系和速度差会共同决定目标。可以对约束隐式求导并代入目标的导数。必须核对求得候选是否满足原约束，平方、消分母等变形可能引入不合法点。

F(x,y)=0,\quad P'=P_x+P_y y'

继续追问：某个候选点落在允许区间之外，应如何处理？

核对这一步的回答

排除它；只在可行域中寻找最优点，并继续检查合法边界。

追问 03

13.2 线性化与微分

为什么切线能代替附近的曲线？

先看一个提示

可导的含义就是一阶变化有稳定比例。

展开推理与讲解

选择靠近目标、函数值与导数都易算的展开点 $a$ ，以切线近似函数。微分 $dy=f'(a)dx$ 是线性预测，实际增量 $\Delta y$ 一般不完全等于 $dy$ 。误差与距离、曲率有关；凹向上时切线在曲线下方，凹向下时相反。

L(x)=f(a)+f'(a)(x-a),\quad\Delta y=f'(a)\Delta x+o(\Delta x)

继续追问：目标离 $a$ 很远，线性化仍有可靠精度吗？

核对这一步的回答

一般不能。需对整个间隔的高阶导数和距离给出误差控制。

追问 04

13.2.4–13.3 误差与牛顿法

切线与横轴的交点为什么可用于逼近函数根？

先看一个提示

在当前点写切线，再令其纵坐标为零。

展开推理与讲解

牛顿法以切线零点作为下一次估计。当前导数为零时公式失效；初值差可能跑远、循环或走出定义域。误差估计若有 $\lvert f''\rvert\le M$ ，线性近似误差不超过 $M\lvert x-a\rvert^2/2$ 。停止迭代时还应检查函数残差，不能只看两次值相近。

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\quad\lvert f(x)-L(x)\rvert\le\frac M2\lvert x-a\rvert^2

继续追问：初值恰好在水平切线处，会发生什么？

核对这一步的回答

分母 $f'(x_n)=0$ ，迭代式无定义，应换初值或采用其他找根方法。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 13.1.1 · 原书 p. 268（PDF 第 293 页）↗

两个实数和为 10，且各不超过 8。求乘积最大值与最小值。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

令第二个数为 $10-x$ ，同时使用两个上界条件。

提示二 · 关键转折

可行区间为 $[2,8]$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$P=x(10-x)$ ， $P'=10-2x$ ，驻点 5。候选值 $P(2)=16,P(5)=25,P(8)=16$ ；最大值 25（两数均为 5），最小值 16（两数为 2 与 8）。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 13.2 · 原书 p. 279（PDF 第 304 页）↗

在 $a=9$ 处线性化 $\sqrt{x}$ ，近似 $\sqrt{11}$ 并判断高估还是低估。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

算 $f(9)$ 与 $f'(9)$ 。

提示二 · 关键转折

平方根函数的二阶导数为负。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$L(x)=3+(x-9)/6$ ，故 $\sqrt{11}\approx10/3$ 。由于 $f''(x)=-1/(4x^{3/2})<0$ ，切线在图像上方，是高估。区间 $[9,11]$ 上可取 $M=1/108$ ，误差不超过 $1/54$ 。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 13.3 · 本笔记编写

用牛顿法从 $x_0=1$ 出发，对 $x^2-2=0$ 迭代两次。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

把 $f$ 与 $f'$ 代入迭代式。

提示二 · 关键转折

公式可简化为 $x_{n+1}=(x_n+2/x_n)/2$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$x_1=3/2$ ， $x_2=17/12\approx1.4167$ 。第二次的残差 $(17/12)^2-2=1/144$ ；它已经接近正根，但不是精确根。

学习闭环

过关自查

我能说清：把文字约束变成单变量最值问题，并用切线进行带误差意识的近似。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

最优化与线性化

13.1 最优化的建模

13.1 复杂几何与隐式优化

13.2 线性化与微分

13.2.4–13.3 误差与牛顿法

本章练习 · 先尝试，再揭示

两个实数和为 10，且各不超过 8。求乘积最大值与最小值。

在 a=9a=9a=9 处线性化 x\sqrt{x}x​，近似 11\sqrt{11}11​ 并判断高估还是低估。

用牛顿法从 x0=1x_0=1x0​=1 出发，对 x2−2=0x^2-2=0x2−2=0 迭代两次。

过关自查

在 $a=9$ 处线性化 $\sqrt{x}$ ，近似 $\sqrt{11}$ 并判断高估还是低估。

用牛顿法从 $x_0=1$ 出发，对 $x^2-2=0$ 迭代两次。