反常积分：解题方法

先找分母零点、对数边界、根式边界及无穷端点，把所有问题点隔开。能直接积分则先试，否则在每个问题点分别判断正负与主导项，再用比较、极限比较或幂判别。符号变化时优先检查绝对收敛，不能直接对变号函数应用非负比较定理。

多项式及根式看有效最高幂，差式若抵消需有理化。指数衰减快于固定幂，对数增长慢于固定正幂。正弦余弦有界可用于绝对值比较，但正切有极点，不能称所有三角函数都全局有界。比较仍需检查有限区间有没有新奇点。

$\int_e^\infty dx/[x(\ln x)^q]$ 换元后变成 $\int_1^\infty u^{-q}du$，因此恰在 $q>1$ 时收敛。若原幂次偏离临界，往往由幂决定；临界线上必须保留对数，不能把它称作“不重要的小量”而删除。

零附近看最先不消失的最低阶项：$\sin x\sim x$、$e^x-1\sim x$、$\ln(1+x)\sim x$。$\ln x$ 在零发散但慢于任意负幂，因此 $\lvert\ln x\rvert$ 在零可积。相减的式子不能随意逐项替换后把信息抵消光。

令 $u=x-a$ 或 $u=a-x$，把单侧奇点移到 $u=0^+$，保留微分和积分方向。若分母函数在 $a$ 有简单零点且导数非零，通常与 $x-a$ 成比例；高重零点需相应幂次。最终答案要逐段列出结论，再汇总整体敛散性。