THE CALCULUS LIFESAVER / 第 7 章

三角函数的极限与导数

识别三角函数内部变量的大小，用基本极限与链式法则处理问题。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 127–148

先修：第 2、3、6 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

7.1 小角情形 7.1 大角与其他情形 7.2 三角求导 7.2.2–7.2.3 振动与导数不连续

追问 01

7.1 小角情形

看到 $x\to0$ 就能把所有正弦替换成自变量吗？

先看一个提示

先看正弦内部的量是否趋零。

展开推理与讲解

弧度下 $\sin u/u\to1$ ，也有 $\tan u/u\to1$ 、 $(1-\cos u)/u^2\to1/2$ 。使用时配出相同的内变量，保留比例系数。等价量适合乘除，遇到相减和抵消必须更谨慎。

\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1,\quad\lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12

继续追问： $\sin x-x$ 能否直接替换为零再求高阶极限？

核对这一步的回答

不能。首阶等价会丢失差式中的高阶信息，应改用恒等式、洛必达或高阶展开。

追问 02

7.1 大角与其他情形

如果三角函数内部趋于无穷，该怎样入手？

先看一个提示

小角公式失效，但正弦仍有界。

展开推理与讲解

内部大角时关注振荡与幅度，使用夹逼；内部趋普通有限点且函数连续时可代入。 $x\to\infty$ 不代表内角大，例如 $5/x\to0$ 。基本极限可由单位圆面积比较推出，避免用尚未证明的三角导数循环论证。

\lvert\sin u\rvert\le1,\qquad\cos u\le\frac{\sin u}{u}\le1\quad(0<u<\pi/2)

继续追问： $x\sin(5/x)$ 在无穷远属于哪一类？

核对这一步的回答

小角情形，因为 $5/x\to0$ ，写成 $5\sin(5/x)/(5/x)$ ，极限为 5。

追问 03

7.2 三角求导

为什么 $\sin(3x)$ 的导数多出一个 3？

先看一个提示

内角变化速度是输入的三倍。

展开推理与讲解

利用和角公式和基本极限可推导正余弦导数，再用商法则得正切等导数。所有复合角都要乘内层导数。符号最易错的是余弦、余切、余割的负号。

(\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\sec^2x,\ (\cot x)'=-\csc^2x,\ (\sec x)'=\sec x\tan x,\ (\csc x)'=-\csc x\cot x

继续追问：你能用商法则重新推出正切导数吗？

核对这一步的回答

$\tan=\sin/\cos$ ，商法则得到 $(\cos^2+\sin^2)/\cos^2=\sec^2$ 。

追问 04

7.2.2–7.2.3 振动与导数不连续

函数可导，导数就一定连续吗？

先看一个提示

研究被 $x^2$ 压低的快速振荡。

展开推理与讲解

简谐运动位置可写成 $A\cos(\omega t+\phi)$ ，加速度与位移反向成比例。另一个重要例子是 $x^2\sin(1/x)$ 在零补为零后可导，但非零处导数含 $-\cos(1/x)$ ，在零附近不收敛。可导性与导数连续性是不同层级。

s''=-\omega^2s,\qquad (x^2\sin(1/x))'=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

继续追问：函数振幅趋零，为什么导数的振幅仍可能不趋零？

核对这一步的回答

快速振荡使局部斜率很大；求导会引入内角的变化率，它可能抵消原来的小幅度因子。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书问题重述 · 7.1 · 原书 p. 127（PDF 第 152 页）↗

求 $\sin(5x)/x$ 在 $x\to0$ 和 $x\to\infty$ 时的两个极限。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

两个问题中内角的行为完全不同。

提示二 · 关键转折

第一问配 $5x$ ，第二问用有界性。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一问写为 $5\sin(5x)/(5x)$ ，极限为 5。第二问绝对值不超过 $1/x$ （ $x>0$ ），极限为 0。相似外观不意味着使用同一方法。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 7.2.3 · 原书 p. 146（PDF 第 171 页）↗

将 $f(x)=x^2\sin(1/x)$ 在零定义为零，求 $f'(0)$ ，并判断 $f'$ 在零是否连续。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

零点用定义，非零点用乘积与链式法则。

提示二 · 关键转折

零点差商为 $h\sin(1/h)$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

夹逼得 $f'(0)=0$ 。非零处 $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ ；第一项趋零，第二项沿 $x=1/(2n\pi)$ 与 $x=1/((2n+1)\pi)$ 取不同极限，因此 $f'$ 在零不连续。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 7.1、7.2 · 本笔记编写

求 $\lim_{x\to0}(1-\cos3x)/x^2$ ，并对 $\sin(x^2)$ 求导。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

基本余弦极限中的分母应是内角平方。

提示二 · 关键转折

$(3x)^2=9x^2$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

极限为 $9/2$ ；导数为 $2x\cos(x^2)$ 。两问都提醒我们跟踪内层变量的缩放。

学习闭环

过关自查

我能说清：识别三角函数内部变量的大小，用基本极限与链式法则处理问题。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

三角函数的极限与导数

7.1 小角情形

7.1 大角与其他情形

7.2 三角求导

7.2.2–7.2.3 振动与导数不连续

本章练习 · 先尝试，再揭示

求 sin⁡(5x)/x\sin(5x)/xsin(5x)/x 在 x→0x\to0x→0 和 x→∞x\to\inftyx→∞ 时的两个极限。

将 f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x)=x^2\sin(1/x)f(x)=x2sin(1/x) 在零定义为零，求 f′(0)f'(0)f′(0)，并判断 f′f'f′ 在零是否连续。

求 lim⁡x→0(1−cos⁡3x)/x2\lim_{x\to0}(1-\cos3x)/x^2limx→0​(1−cos3x)/x2，并对 sin⁡(x2)\sin(x^2)sin(x2) 求导。

过关自查

求 $\sin(5x)/x$ 在 $x\to0$ 和 $x\to\infty$ 时的两个极限。

将 $f(x)=x^2\sin(1/x)$ 在零定义为零，求 $f'(0)$ ，并判断 $f'$ 在零是否连续。

求 $\lim_{x\to0}(1-\cos3x)/x^2$ ，并对 $\sin(x^2)$ 求导。