THE CALCULUS LIFESAVER / 第 28 章

复数

在代数形式和极形式之间切换，用旋转理解乘方、开方和复指数。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 595–616

先修：第 2、22、26 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

28.1 复数运算 28.1.1–28.2 极形式与复平面 28.3–28.4 乘方与所有根 28.4.1–28.5 多项式变形与复指数方程 28.6–28.7 三角级数与欧拉公式

追问 01

28.1 复数运算

引入 $i^2=-1$ 后，除法如何变成实数分母？

先看一个提示

乘以分母的共轭。

展开推理与讲解

复数 $z=a+bi$ 包含实部和虚部，虚部指实数系数 $b$ 。加减分别操作，乘法展开后把 $i^2$ 换成 -1；除法乘共轭。模长是到原点的距离，共轭对应关于实轴反射。

\bar z=a-bi,\quad\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2},\quad z\bar z=\lvert z\rvert^2

继续追问：非零复数为什么一定能这样求倒数？

核对这一步的回答

因为 $z\bar z=a^2+b^2>0$ ，得到非零实数分母。

追问 02

28.1.1–28.2 极形式与复平面

复数乘法为什么能解释成缩放和旋转？

先看一个提示

模相乘、角相加。

展开推理与讲解

欧拉公式把单位圆与复指数连接起来。非零复数可写成 $re^{i\theta}$ ， $r>0$ ，辐角相差 $2\pi$ 表示同一点。反正切只能给参考信息，象限必须单独判断；零的辐角不定义。

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad z=re^{i\theta}

继续追问：乘以 $i$ 对平面上的点做了什么变换？

核对这一步的回答

把所有点逆时针旋转 $\pi/2$ ，模长保持不变。

追问 03

28.3–28.4 乘方与所有根

开 $n$ 次方为什么通常会有 $n$ 个不同结果？

先看一个提示

角度等式必须允许整圈偏移。

展开推理与讲解

乘方时模取幂、角乘 $n$ 。解 $z^n=Re^{i\phi}$ （ $R>0$ ）时模为 $R^{1/n}$ ，角为 $(\phi+2k\pi)/n$ ，取 $k=0,\ldots,n-1$ 恰好得到所有不同根。根在同一圆上等角分布； $w=0$ 时唯一根为零，按重数计为 $n$ 。

z_k=R^{1/n}e^{i(\phi+2k\pi)/n}

继续追问：若让 $k$ 再增加 $n$ ，得到新根还是旧根？

核对这一步的回答

得到旧根，因为辐角增加一整圈。

追问 04

28.4.1–28.5 多项式变形与复指数方程

$e^z=w$ 为什么不是只有一个对数答案？

先看一个提示

虚部的指数有 $2\pi$ 周期。

展开推理与讲解

设 $z=x+iy$ ，则 $e^z=e^xe^{iy}$ 。 $w\ne0$ 时所有解为模的自然对数加上任一辐角乘 $i$ ； $w=0$ 无解。高次多项式可先以 $z^2$ 等作代换，再求所有根。实系数多项式的非实根共轭成对，可将共轭因子合并为实二次式。

e^z=w\ne0\Longrightarrow z=\ln\lvert w\rvert+i(\arg w+2k\pi),\ k\in\mathbb Z

继续追问：为什么复对数不能无条件照搬单值实对数的所有规则？

核对这一步的回答

复辐角有多值性，选定单值分支还会有切割；不注明分支时照搬可能相差 $2k\pi i$ 。

追问 05

28.6–28.7 三角级数与欧拉公式

正余弦级数如何统一到一个指数式中？

先看一个提示

把 $ix$ 代入指数级数，按奇偶幂拆分。

展开推理与讲解

偶次幂给余弦，奇次幂给 $i\sin x$ ，得到欧拉公式。利用复几何级数，再取实部和虚部，可以求带正余弦的几何加权级数。交换求和、取实部等操作应有收敛支持， $\lvert r\rvert<1$ 时绝对收敛是自然保证。

\sum_{n=0}^\infty r^ne^{in\theta}=\frac1{1-re^{i\theta}}\quad(\lvert r\rvert<1)

继续追问：怎样从这个式子取出 $\sum r^n\cos(n\theta)$ ？

核对这一步的回答

对等式取实部，并把右侧乘共轭化成实虚两部分；绝对收敛允许逐项取实部。

动手观察

复数根实验：角度的等分

显示 zⁿ = 1 的全部根。模长都为 1，邻根辐角差为 2π/n。

调节参数

图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 28.3 · 原书 p. 603（PDF 第 628 页）↗

计算 $(1-i)^{99}$ ，给出代数形式。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先写 $1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}$ 。

提示二 · 关键转折

$-99\pi/4$ 与 $5\pi/4$ 相差整数圈。

参考解答 · 完成尝试后再展开

结果 $2^{99/2}e^{i5\pi/4}=2^{99/2}(-1-i)/\sqrt2=-2^{49}(1+i)$ 。用 $7\pi/4$ 作初始辐角也应得到同一结果。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 28.3 · 原书 p. 603（PDF 第 628 页）↗

计算 $(3e^{i\pi/4})^{200}$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

模取 200 次幂，角乘 200。

提示二 · 关键转折

$50\pi$ 是 $2\pi$ 的整数倍。

参考解答 · 完成尝试后再展开

结果为 $3^{200}e^{i50\pi}=3^{200}$ 。巨大乘方无需二项展开，角度周期性直接消去虚部。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 28.4–28.5 · 本笔记编写

求 $z^3=1$ 的所有根，以及 $e^z=-1$ 的所有解。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一问角度三等分；第二问模为 1、辐角为奇数倍 $\pi$ 。

提示二 · 关键转折

分别令 $k=0,1,2$ 与 $k\in\mathbb Z$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

三次根为 $1,-1/2+i\sqrt3/2,-1/2-i\sqrt3/2$ 。指数方程解为 $z=i(2k+1)\pi$ ， $k$ 任意整数。前者有限多个，后者无限多个。

学习闭环

过关自查

我能说清：在代数形式和极形式之间切换，用旋转理解乘方、开方和复指数。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

复数

28.1 复数运算

28.1.1–28.2 极形式与复平面

28.3–28.4 乘方与所有根

28.4.1–28.5 多项式变形与复指数方程

28.6–28.7 三角级数与欧拉公式

复数根实验：角度的等分

本章练习 · 先尝试，再揭示

计算 (1−i)99(1-i)^{99}(1−i)99，给出代数形式。

计算 (3eiπ/4)200(3e^{i\pi/4})^{200}(3eiπ/4)200。

求 z3=1z^3=1z3=1 的所有根，以及 ez=−1e^z=-1ez=−1 的所有解。

过关自查

计算 $(1-i)^{99}$ ，给出代数形式。

计算 $(3e^{i\pi/4})^{200}$ 。

求 $z^3=1$ 的所有根，以及 $e^z=-1$ 的所有解。