THE CALCULUS LIFESAVER / 第 11 章

导数与图像

用存在性定理、导数符号和凹凸性识别最值与图像特征。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 225–244

先修：第 5–10 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

11.1 极值与全局最值 11.2–11.3 罗尔与中值定理 11.4 二阶导数与拐点 11.5 极值判别

追问 01

11.1 极值与全局最值

驻点就一定是最高或最低点吗？

先看一个提示

比较 $x^2$ 和 $x^3$ 在零的行为。

展开推理与讲解

局部极值只与附近比较，全局最值与整个定义域比较。内部可导极值点导数为零，这是必要而非充分条件。闭区间连续函数的全局最值要把内部导数为零点、不可导点和端点全部列入，再比较函数值。不要把不存在的函数点列为候选。

\text{内部可导极值点 }c\Longrightarrow f'(c)=0

继续追问： $\lvert x\rvert$ 的最低点为什么会被只解 $f'=0$ 的方法漏掉？

核对这一步的回答

因为最低点的导数不存在，根本不会出现在 $f'=0$ 的解里。

追问 02

11.2–11.3 罗尔与中值定理

一段路的平均速度，是否曾等于某一瞬间速度？

先看一个提示

把端点连成割线，寻找平行切线。

展开推理与讲解

中值定理要求闭区间连续、开区间可导；存在内部点导数等于割线斜率。罗尔定理是端点值相同的特例。证明可先减去割线，使两端等高，再用内部极值的导数条件。定理能推出导数为零的函数在区间上为常数，以及导数符号控制单调性。

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\quad c\in(a,b)

继续追问：若区间中有尖角，哪一个假设可能失效？

核对这一步的回答

开区间可导的假设失效；仍可能偶然找到某点，但不能保证。

追问 03

11.4 二阶导数与拐点

上升和凹向上是不是同一件事？

先看一个提示

一个描述斜率的符号，另一个描述斜率怎样变化。

展开推理与讲解

$f''>0$ 表示斜率递增、凹向上； $f''<0$ 表示凹向下。拐点要求连续曲线的凹凸性确实改变，单有 $f''=0$ 不足够，二阶导数不存在处也可能出现拐点。凹向上曲线仍可下降，只是下降逐渐放缓。

f''>0\Rightarrow f'\text{ 递增},\qquad f''<0\Rightarrow f'\text{ 递减}

继续追问： $x^4$ 在零二阶导数为零，为什么不是拐点？

核对这一步的回答

二阶导数 $12x^2$ 两侧均为正，凹凸性没有改变。

追问 04

11.5 极值判别

二阶判别得到零，是不是说明没有极值？

先看一个提示

零意味着方法没有给出结论。

展开推理与讲解

一阶导数由正变负给极大，由负变正给极小，不变号通常排除严格极值。驻点处二阶导正给极小、负给极大、为零则需继续分析。不要把“导数不变号”自动升级为拐点结论，拐点还须实际检验凹凸变化。

f'(c)=0,\ f''(c)>0\Rightarrow\text{局部极小}

继续追问：能否分别用 $x^3$ 和 $x^4$ 说明二阶判别为零时的不同结果？

核对这一步的回答

$x^3$ 在零不是极值，而 $x^4$ 在零是极小；二者二阶导在零都为零。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 11.5.1 · 原书 p. 241（PDF 第 266 页）↗

求 $f(x)=x\ln x$ 的局部极值。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

定义域是什么？导数是什么？

提示二 · 关键转折

$f'(x)=\ln x+1$ 在 $1/e$ 两侧怎样变号？

参考解答 · 完成尝试后再展开

定义域 $x>0$ ，唯一驻点 $x=e^{-1}$ 。左边导数负、右边正，故局部极小值为 $-1/e$ 。结合整个定义域的导数符号，这也是全局最小值，没有最大值。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 11.5.1–11.5.2 · 原书 p. 241（PDF 第 266 页）↗

比较 $x^3$ 和 $x^4$ 在零的驻点类型。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

二者的一阶导数都为零。

提示二 · 关键转折

分别考察一阶导数变号与二阶导数变号。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$x^3$ 的导数 $3x^2$ 两侧均正，不是极值；二阶导 $6x$ 变号，零为拐点。 $x^4$ 的导数 $4x^3$ 由负变正，零为极小；二阶导 $12x^2$ 不变号，不是拐点。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 11.1–11.3 · 本笔记编写

求 $x^3-3x$ 在 $[-2,2]$ 的全局最值，并找到满足中值定理的点。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

候选包括端点与 $f'=0$ 的点。

提示二 · 关键转折

割线斜率为 $(f(2)-f(-2))/4$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

候选 $-2,-1,1,2$ 的值分别为 $-2,2,-2,2$ ；最大值 2 在 $-1,2$ 取得，最小值 -2 在 $-2,1$ 取得。割线斜率 1，解 $3c^2-3=1$ 得 $c=\pm2/\sqrt3$ ，都在内部。

学习闭环

过关自查

我能说清：用存在性定理、导数符号和凹凸性识别最值与图像特征。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

导数与图像

11.1 极值与全局最值

11.2–11.3 罗尔与中值定理

11.4 二阶导数与拐点

11.5 极值判别

本章练习 · 先尝试，再揭示

求 f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln xf(x)=xlnx 的局部极值。

比较 x3x^3x3 和 x4x^4x4 在零的驻点类型。

求 x3−3xx^3-3xx3−3x 在 [−2,2][-2,2][−2,2] 的全局最值，并找到满足中值定理的点。

过关自查

求 $f(x)=x\ln x$ 的局部极值。

比较 $x^3$ 和 $x^4$ 在零的驻点类型。

求 $x^3-3x$ 在 $[-2,2]$ 的全局最值，并找到满足中值定理的点。