THE CALCULUS LIFESAVER / 第 24 章

泰勒多项式、泰勒级数与幂级数

从匹配导数构造局部多项式，并用余项区分形式展开和真实函数表示。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 519–534

先修：第 13、22 章：近似与级数

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

24.1.1–24.1.3 从切线到多项式 24.1.4 泰勒定理与余项 24.2 幂级数与泰勒级数 24.2.2–24.2.3 基本展开 24.3 阶乘压过指数

追问 01

24.1.1–24.1.3 从切线到多项式

只匹配高度和斜率，为什么还不能反映曲率？

先看一个提示

再让二阶导数也一致。

展开推理与讲解

一次近似匹配函数值与一阶导，二次近似加入曲率信息。逐阶要求多项式在 $a$ 的导数等于原函数，就得到系数 $f^{(n)}(a)/n!$ 。这里的“好”是中心附近的局部匹配，不是整个区间上误差最小的任意多项式。

P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

继续追问：为什么系数不是直接写成 $f^{(n)}(a)$ ？

核对这一步的回答

因为第 $n$ 次求导会产生 $n!$ 因子，系数预先除去它才能匹配原导数。

追问 02

24.1.4 泰勒定理与余项

多算几个项一定就足够准确吗？

先看一个提示

需要给误差一个可以检查的上界。

展开推理与讲解

在包含 $a$ 与 $x$ 的区间上具备足够连续导数时，拉格朗日余项等于某个中间点的第 $N+1$ 阶导数乘幂因子。未知中间点不妨碍用整个区间的导数界估计。阶数越高是否改善精度，仍取决于导数增长与距离。

R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1},\quad c\text{ 在 }a,x\text{ 之间}

继续追问：如果导数界取在错误区间上，误差保证还成立吗？

核对这一步的回答

不成立。中间点可能落在未被覆盖的地方，导数真实值可能超过所用上界。

追问 03

24.2 幂级数与泰勒级数

写出无穷展开，是否就已经表示原函数？

先看一个提示

分别问级数是否收敛，以及和是否等于函数。

展开推理与讲解

幂级数是关于 $(x-a)$ 的级数；泰勒级数的系数由导数确定，中心为零时叫麦克劳林级数。即使函数无限可导，也不能只凭系数存在便保证级数等于函数；必须有 $R_N(x)\to0$ 。后续章节将判断收敛区间与构造新级数。

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\quad\text{若 }R_N(x)\to0

继续追问：“泰勒级数收敛”和“收敛到该函数”是同一断言吗？

核对这一步的回答

不是。还要证明余项趋零，才能确定级数和等于原函数。

追问 04

24.2.2–24.2.3 基本展开

为什么先掌握几种基础级数就能做很多题？

先看一个提示

其他展开常能通过替换变量与代数运算得到。

展开推理与讲解

指数、正弦、余弦的麦克劳林级数对所有实数收敛并等于原函数，证明可用余项。几何级数仅在 $\lvert x\rvert<1$ 表示 $1/(1-x)$ 。必须把适用范围连同公式记忆。

e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\quad\sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

继续追问：正弦只有奇次幂，与它的什么对称性一致？

核对这一步的回答

奇对称， $\sin(-x)=-\sin x$ ，偶次幂项必须消失。

追问 05

24.3 阶乘压过指数

为何指数展开的高阶余项可以趋零？

先看一个提示

观察连续两项的比值。

展开推理与讲解

对固定的非负常数 $M$ ， $M^n/n!$ 的相邻比值为 $M/(n+1)$ ，最终小于任意给定的小于 1 的常数。因此该数列趋零。这支撑多种泰勒余项估计，但不能把随 $n$ 增长的量误当作固定 $M$ 。

\lim_{n\to\infty}\frac{M^n}{n!}=0\quad(M\text{ 固定})

继续追问：把 $M$ 换成 $n$ ，这个论证的哪一步失效？

核对这一步的回答

比值不再是固定 $M$ 除以 $n+1$ ，不能据此得到几何压缩；需要重新分析该数列。

动手观察

泰勒实验：逐阶加入信息

绿色是 eˣ，金色是在零点的泰勒多项式。注意局部逼近不等于整个画面同样准确。

调节参数

图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 24.1.4 · 原书 p. 524（PDF 第 549 页）↗

用三阶麦克劳林多项式近似 $e^{-1/10}$ ，并给出误差上界。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

指数的各阶导数都是自身。

提示二 · 关键转折

在 $[-1/10,0]$ 上 $e^c\le1$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$P_3(-1/10)=1-1/10+1/200-1/6000=5429/6000$ 。余项绝对值至多 $(1/10)^4/4!=1/240000$ 。余项为正，所以近似偏低。

练习 2 / 3

原书推导改为练习 · 24.1.2–24.1.3 · 原书 p. 522（PDF 第 547 页）↗

从“在 $a$ 匹配前三个导数值”推导二阶泰勒多项式。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

写成 $A+B(x-a)+C(x-a)^2$ 。

提示二 · 关键转折

在中心求值、求一次导、求二次导。

参考解答 · 完成尝试后再展开

三条件依次给 $A=f(a),B=f'(a),2C=f''(a)$ ，所以 $P_2=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2$ 。阶乘来自重复求导的系数。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 24.2 · 本笔记编写

写出 $\sin x$ 到五阶的麦克劳林多项式，并给出 $\lvert x\rvert\le0.1$ 上的一种有效误差界。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

六次项为零，可以视作六阶泰勒多项式。

提示二 · 关键转折

七阶导数的绝对值不超过 1。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$P_5=x-x^3/6+x^5/120$ 。它也等于 $P_6$ ，故 $\lvert R\rvert\le\lvert x\rvert^7/7!\le10^{-7}/5040$ 。利用消失的偶次系数能得到更好的界。

学习闭环

过关自查

我能说清：从匹配导数构造局部多项式，并用余项区分形式展开和真实函数表示。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

泰勒多项式、泰勒级数与幂级数

24.1.1–24.1.3 从切线到多项式

24.1.4 泰勒定理与余项

24.2 幂级数与泰勒级数

24.2.2–24.2.3 基本展开

24.3 阶乘压过指数

泰勒实验：逐阶加入信息

本章练习 · 先尝试，再揭示

用三阶麦克劳林多项式近似 e−1/10e^{-1/10}e−1/10，并给出误差上界。

从“在 aaa 匹配前三个导数值”推导二阶泰勒多项式。

写出 sin⁡x\sin xsinx 到五阶的麦克劳林多项式，并给出 ∣x∣≤0.1\lvert x\rvert\le0.1∣x∣≤0.1 上的一种有效误差界。

过关自查

用三阶麦克劳林多项式近似 $e^{-1/10}$ ，并给出误差上界。

从“在 $a$ 匹配前三个导数值”推导二阶泰勒多项式。

写出 $\sin x$ 到五阶的麦克劳林多项式，并给出 $\lvert x\rvert\le0.1$ 上的一种有效误差界。