THE CALCULUS LIFESAVER / 第 27 章

参数方程与极坐标

从参数运动理解曲线，掌握坐标转换、切线与极坐标面积。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 575–594

先修：第 2、8、16 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

27.1 参数曲线 27.1.1 参数导数 27.2.1–27.2.2 极坐标与描图 27.2.3 极坐标切线 27.2.4 极坐标面积

追问 01

27.1 参数曲线

消去参数后，曲线的信息都保留了吗？

先看一个提示

同一轨迹可以有不同运动方向和重复次数。

展开推理与讲解

令 $x=x(t),y=y(t)$ ，同时跟踪点随 $t$ 的运动。消元有助识别轨迹，却可能丢掉参数范围、方向与重复描绘。圆可以通过正余弦参数化；一个参数值对应一个点，一个点却可能对应多个参数值。

x=3\cos t,\quad y=3\sin t\Longrightarrow x^2+y^2=9

继续追问： $t$ 只取 $[0,\pi]$ 时，是否画出了整圆？

核对这一步的回答

没有。它只从右端经上半圆到左端。

追问 02

27.1.1 参数导数

为什么曲线斜率是两个速度的比？

先看一个提示

链式法则把沿时间的纵向变化分解为斜率乘横向速度。

展开推理与讲解

在 $x'(t)\ne0$ 时斜率为 $y'/x'$ 。二阶导数还需对 $t$ 求导后除以 $x'$ ，不是简单的 $y''/x''$ 。若 $x'=0,y'\ne0$ ，常得到竖直切线；两者都为零时不能直接判断，需要展开或极限。

\frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'},\quad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(y'/x')'}{x'}

继续追问：同一点对应两组参数，能否出现两条不同切线？

核对这一步的回答

可以。自交点的两次经过可能有不同速度方向，因此切线不同。

追问 03

27.2.1–27.2.2 极坐标与描图

负半径是什么意思？

先看一个提示

沿角方向的反向走相同距离。

展开推理与讲解

笛卡尔坐标为 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ ；逆转换先算半径，再用象限确定角，不能仅取普通反正切主值。极坐标不唯一。画 $r=f(\theta)$ 时列表找零点、最大半径和对称，跟踪负半径与完整描绘范围。

r^2=x^2+y^2,\quad(r,\theta)=(-r,\theta+\pi)=(r,\theta+2k\pi)

继续追问：原点的极角为何不唯一？

核对这一步的回答

零半径在任何方向都还是原点。

追问 04

27.2.3 极坐标切线

对 $r$ 求导是否就是曲线斜率？

先看一个提示

平面斜率仍然是 $dy/dx$ 。

展开推理与讲解

把角度当参数，对 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ 求导后取比。经过原点时多个角可能产生不同切线；分子分母同时为零需回到局部展开，不能仅靠分式。

\frac{dy}{dx}=\frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}

继续追问： $r'=0$ 是否必然意味着水平切线？

核对这一步的回答

不是。例如 $r'=0$ 时斜率由位置角决定，通常为 $-\cot\theta$ 。

追问 05

27.2.4 极坐标面积

小角度对应的面积元素为什么含半径平方？

先看一个提示

小块近似扇形，单位弧度扇形面积为半径平方的一半。

展开推理与讲解

对单次描绘的区域，面积为半径平方的角积分的一半。求花瓣、内环或两曲线间面积时先确定边界与描绘区间；重复扫过同一区域会重复计数。两曲线同一射线的外内半径应在适当分段上比较，再作平方之差。

A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2d\theta

继续追问：半径可以为负，平方为正是否就消除了所有重复描绘问题？

核对这一步的回答

不能。平方保证面积贡献非负，却无法自动区分不同参数是否扫过同一区域。

动手观察

极坐标实验：跟随描绘方向

曲线 r = 3 sin θ。拖动角度，观察 0 到 π 如何描绘整圆一次。

调节参数

图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例子改为练习 · 27.1 · 原书 p. 575（PDF 第 600 页）↗

分析 $x=3\cos t,y=3\sin t$ 在 $0\le t\le2\pi$ 的轨迹与方向。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

计算 $x^2+y^2$ ，再观察 $t=0$ 附近。

提示二 · 关键转折

起点 $(3,0)$ ，小正 $t$ 时向上。

参考解答 · 完成尝试后再展开

轨迹为半径 3、中心原点的圆，逆时针完整描绘一次，首尾同为 $(3,0)$ 。消元方程本身不能告诉方向或次数。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 27.1.1 · 原书 p. 578（PDF 第 603 页）↗

求参数曲线 $x=e^{-2t},y=\arcsin t$ 在 $t=1/2$ 的切线。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先求点坐标，再取两个导数之比。

提示二 · 关键转折

$x'=-2e^{-2t},y'=1/\sqrt{1-t^2}$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

点为 $(e^{-1},\pi/6)$ ，斜率为 $-e/\sqrt3$ ，切线 $y-\pi/6=-(e/\sqrt3)(x-e^{-1})$ 。

练习 3 / 3

原书曲线延伸练习 · 27.2.2 · 原书 p. 585（PDF 第 610 页）↗

将 $r=3\sin\theta$ （ $0\le\theta\le\pi$ ）转为圆方程，并用极坐标积分求面积。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

两边乘 $r$ ，将 $r\sin\theta$ 换为 $y$ 。

提示二 · 关键转折

$x^2+y^2=3y$ ，该范围单次描圆。

参考解答 · 完成尝试后再展开

圆方程为 $x^2+(y-3/2)^2=9/4$ ，半径 $3/2$ 。面积 $\frac92\int_0^\pi\sin^2\theta d\theta=9\pi/4$ ，与圆面积一致。面积问法是对原书描图例子的延伸。

学习闭环

过关自查

我能说清：从参数运动理解曲线，掌握坐标转换、切线与极坐标面积。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

参数方程与极坐标

27.1 参数曲线

27.1.1 参数导数

27.2.1–27.2.2 极坐标与描图

27.2.3 极坐标切线

27.2.4 极坐标面积

极坐标实验：跟随描绘方向

本章练习 · 先尝试，再揭示

分析 x=3cos⁡t,y=3sin⁡tx=3\cos t,y=3\sin tx=3cost,y=3sint 在 0≤t≤2π0\le t\le2\pi0≤t≤2π 的轨迹与方向。

求参数曲线 x=e−2t,y=arcsin⁡tx=e^{-2t},y=\arcsin tx=e−2t,y=arcsint 在 t=1/2t=1/2t=1/2 的切线。

将 r=3sin⁡θr=3\sin\thetar=3sinθ（0≤θ≤π0\le\theta\le\pi0≤θ≤π）转为圆方程，并用极坐标积分求面积。

过关自查

分析 $x=3\cos t,y=3\sin t$ 在 $0\le t\le2\pi$ 的轨迹与方向。

求参数曲线 $x=e^{-2t},y=\arcsin t$ 在 $t=1/2$ 的切线。

将 $r=3\sin\theta$ （ $0\le\theta\le\pi$ ）转为圆方程，并用极坐标积分求面积。