估计问题的解法

把目标写成 $f(x_*)$，选邻近且容易计算的 $a$。列表记录 $f^{(n)}(x)$ 与 $f^{(n)}(a)$，最后填入泰勒公式。中心不是零时幂是 $(x-a)^n$，不应沿用麦克劳林的 $x^n$。估计阶数与多项式实际次数可能不同。

若区间上 $\lvert f^{(N+1)}\rvert\le M$，要求 $M\lvert x_*-a\rvert^{N+1}/(N+1)!\le\varepsilon$。先找满足要求的阶数，再算近似值。导数界可以适度放宽以便算数，但必须在整个中间区间成立；不能只代入展开点。

若余项正，近似低估；若余项负，近似高估。$c$ 只知道位于 $a$ 与目标之间，需用单调性或求导来界定导数大小。目标含根式、对数、三角或指数时都遵循同一流程，差别只在导数界的选择。还要考虑最终小数舍入引入的额外误差。

先确认级数确实等于目标函数，再核对项交替、幅度递减到零。满足条件时误差不超过首个未保留项，符号与该项一致。对积分中的级数，可在合法范围逐项积分后再检验新级数是否交错，不可只看被积函数的形式。