微积分 · 追问笔记
THE CALCULUS LIFESAVER / 第 20 章

反常积分：基本概念

用独立极限定义反常积分，并掌握比较、极限比较和绝对收敛。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 431–450

先修：第 16–19 章

这一章怎么读
  1. 先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
  2. 卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
  3. 独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录20.1–20.2 收敛与截断20.3 比较判别20.4 极限比较20.5 幂次判别20.6 绝对收敛
追问 01

20.1–20.2 收敛与截断

无穷长区间上的面积为什么可以有限？

先看一个提示

先截到有限位置，再看面积极限。

展开推理与讲解

无穷上限改成 RR 后令 R→∞R\to\infty，端点爆炸则从内部逼近。只有截断积分趋于有限数才叫收敛。区间有多个问题点时必须分开，每一段都收敛整体才收敛。正负无穷相抵不能算普通反常积分收敛，可能只是另一种“主值”。

∫a∞f=lim⁡R→∞∫aRf,∫abf=lim⁡ε→0+∫a+εbf\int_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int_a^Rf,\quad\int_a^bf=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^bf
追问 02

20.3 比较判别

为什么比一个有限面积还小的非负面积一定有限？

先看一个提示

截断积分单调增加且有统一上界。

展开推理与讲解

在问题点附近满足 0≤f≤g0\le f\le g 时，若 gg 的积分收敛，则 ff 也收敛；若 ff 发散，则 gg 也发散。反方向一般没有结论。比较可只在足够靠近问题点处成立，远离它的正常有限区间不影响收敛性。

0≤f≤g:∫g<∞⇒∫f<∞0\le f\le g:\quad\int g<\infty\Rightarrow\int f<\infty
追问 03

20.4 极限比较

比值趋于一个正有限数，为何就能共享敛散性？

先看一个提示

比值最终夹在两个正常数之间。

展开推理与讲解

对最终非负且比较函数为正的函数，若 f/g→L∈(0,∞)f/g\to L\in(0,\infty)，两积分同敛散。L=1L=1 称渐近等价。若比值为零或无穷，仅能借助单侧比较推出部分结论，不能照搬双向等价。

f(x)g(x)→L∈(0,∞)⟹∫f 与 ∫g 同敛散\frac{f(x)}{g(x)}\to L\in(0,\infty)\Longrightarrow\int f\text{ 与 }\int g\text{ 同敛散}
追问 04

20.5 幂次判别

同一个 x−px^{-p}，在零附近与无穷远为何条件相反？

先看一个提示

直接看幂原函数在两个端点的行为。

展开推理与讲解

在无穷远，衰减必须快于 1/x1/x 才积得有限；零附近，爆炸必须慢于 1/x1/x 才有限。p=1p=1 对应对数，在两种问题点都发散。有限非零奇点可平移到零，使用 ∣x−a∣−p\lvert x-a\rvert^{-p}。

∫1∞x−pdx 收敛  ⟺  p>1;∫01x−pdx 收敛  ⟺  p<1\int_1^\infty x^{-p}dx\text{ 收敛}\iff p>1;\quad\int_0^1x^{-p}dx\text{ 收敛}\iff p<1
追问 05

20.6 绝对收敛

带正负号时，比较法怎样安全使用？

先看一个提示

先考虑绝对值的面积。

展开推理与讲解

如果绝对值积分收敛，原积分也收敛，称绝对收敛。原积分收敛而绝对值积分发散称条件收敛；绝对值积分发散本身不能说明原积分发散。正负抵消需通过各自截断极限严谨说明。

∫∣f∣<∞⟹∫f 收敛\int\lvert f\rvert<\infty\Longrightarrow\int f\text{ 收敛}

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 20.1.1 · 原书 p. 434（PDF 第 459 页）↗

比较 ∫01dx/x\int_0^1dx/x 和 ∫01dx/x\int_0^1dx/\sqrt{x} 的敛散性，收敛时求值。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

都从 ε>0\varepsilon>0 开始积分。

提示二 · 关键转折

原函数分别是 ln⁡x\ln x 与 2x2\sqrt{x}。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一式为 lim⁡ε→0+(−ln⁡ε)=+∞\lim_{\varepsilon\to0^+}(-\ln\varepsilon)=+\infty，发散。第二式为 lim⁡(2−2ε)=2\lim(2-2\sqrt\varepsilon)=2，收敛。被积函数都爆炸，爆炸速度却决定不同结局。

练习 2 / 3

原书定理改为练习 · 20.5 · 原书 p. 444（PDF 第 469 页）↗

从原函数推导 ∫1∞x−pdx\int_1^\infty x^{-p}dx 的判别条件与收敛时的值。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

先把 p=1p=1 单独分开。

提示二 · 关键转折

p≠1p\ne1 时用 [x1−p/(1−p)]1R[x^{1-p}/(1-p)]_1^R。

参考解答 · 完成尝试后再展开

p>1p>1 时 R1−p→0R^{1-p}\to0，积分为 1/(p−1)1/(p-1)；p<1p<1 时正幂无界，发散；p=1p=1 时 ln⁡R→∞\ln R\to\infty，也发散。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 20.1、20.6 · 本笔记编写

为什么不能说 ∫−11dx/x=0\int_{-1}^1dx/x=0？

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

在零处分开，给两边独立极限。

提示二 · 关键转折

左侧趋负无穷，右侧趋正无穷。

参考解答 · 完成尝试后再展开

两个单侧反常积分都不收敛，所以普通反常积分发散。对称截断 ∫−1−εdx/x+∫ε1dx/x=0\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_\varepsilon^1dx/x=0 仅给柯西主值，不等于普通积分值。

学习闭环

过关自查

写一段自己的章节总结

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