微积分 · 追问笔记
THE CALCULUS LIFESAVER / 第 16 章

定积分

理解黎曼积分、面积和平均值，并知道可积性不是自动成立的。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 325–354

先修：第 15 章：有限和与面积近似

这一章怎么读
  1. 先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
  2. 卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
  3. 独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录16.1–16.2 黎曼积分的定义16.3 基本性质16.4 几何面积16.5–16.6 估计与平均值16.7 一个不可积函数
追问 01

16.1–16.2 黎曼积分的定义

分很多段是否就一定能逼近同一个数？

先看一个提示

要让最大区间宽度趋零，而且不依赖取样方式。

展开推理与讲解

把 [a,b][a,b] 分成小区间，在每段取样 cjc_j，将高度乘宽度后相加。若网格趋零时所有这样的黎曼和趋同一有限值，就定义为定积分。连续函数可积，闭区间上有界且仅有限个不连续点的函数也可积；单纯增加段数而保留某个大区间不够。

∫abf(x) dx=lim⁡∥P∥→0∑j=1nf(cj)(xj−xj−1)\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{\lVert P\rVert\to0}\sum_{j=1}^nf(c_j)(x_j-x_{j-1})
追问 02

16.3 基本性质

反转积分方向，为什么要改变符号？

先看一个提示

积分表示有方向的累积，而不总是几何面积。

展开推理与讲解

定积分具有线性、区间可加性和反向变号。非负函数积分非负；若 f≤gf\le g，积分也保持次序。奇函数在对称区间积分为零，偶函数为正半边的两倍，使用前需确认可积及对称。

∫abf=−∫baf,∫acf+∫cbf=∫abf,∫ab(uf+vg)=u∫abf+v∫abg\int_a^bf=-\int_b^af,\quad\int_a^cf+\int_c^bf=\int_a^bf,\quad\int_a^b(uf+vg)=u\int_a^bf+v\int_a^bg
追问 03

16.4 几何面积

两个曲线交叉后，“上减下”需要改变吗？

先看一个提示

先求交点并逐段确定上下关系。

展开推理与讲解

无符号面积为绝对值积分。两曲线间面积可写为 ∫∣f−g∣\int\lvert f-g\rvert，计算时按交点分段。若用水平切片，改为“右减左”对 yy 积分。面积非负，而定积分可以为负；选择切片方向能显著简化边界。

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxA=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx
追问 04

16.5–16.6 估计与平均值

函数值有上下界时，积分能大到什么程度？

先看一个提示

把每个小矩形高度都换成共同上下界。

展开推理与讲解

若 m≤f≤Mm\le f\le M 且 a<ba<b，则积分位于 m(b−a)m(b-a) 与 M(b−a)M(b-a) 之间。函数平均值是总累积除以区间长度。连续性保证某处实际函数值等于这个平均值，即积分中值定理；这个点通常不唯一。

favg=1b−a∫abf(x) dx,∫abf=f(c)(b−a)f_{\mathrm{avg}}=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx,\quad\int_a^bf=f(c)(b-a)
追问 05

16.7 一个不可积函数

有界为什么还不能保证黎曼可积？

先看一个提示

让每个小区间里同时出现高值和低值。

展开推理与讲解

令有理数点函数值为 1、无理数点为 0。任意区间都有两类点，全部取有理样本时黎曼和为区间长度，全部取无理样本时为零。两种取样无论多细都不趋于同一值，故它不是黎曼可积函数。这是定义中的“任意取样”真正发挥作用的地方。

f(x)={1x∈Q0x∉Qf(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\notin\mathbb Q\end{cases}
动手观察

黎曼和实验：让矩形变细

绿色曲线为 x²，矩形取右端点；比较矩形和与精确积分 8/3。

图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 16.2.1 · 原书 p. 331（PDF 第 356 页）↗

用等分右端点黎曼和计算 ∫02x2 dx\int_0^2x^2\,dx。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

写清宽度 2/n2/n 和取样点 2j/n2j/n。

提示二 · 关键转折

将平方和公式代入。

参考解答 · 完成尝试后再展开

黎曼和为 8n3∑j=1nj2=8n(n+1)(2n+1)6n3\frac8{n^3}\sum_{j=1}^nj^2=\frac{8n(n+1)(2n+1)}{6n^3}。令 n→∞n\to\infty 得 8/38/3。这里不能漏掉小区间宽度，否则得到的不是面积。

练习 2 / 3

原书反例改为练习 · 16.7 · 原书 p. 353（PDF 第 378 页）↗

在 [0,1][0,1] 上证明“有理取 1、无理取 0”的函数不黎曼可积。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

在同一分割中选两种样本。

提示二 · 关键转折

每个非空小区间都包含有理数和无理数。

参考解答 · 完成尝试后再展开

有理样本的每项为区间宽度，和为 1；无理样本和为 0。最大宽度任意小仍有两种不同和值，不满足取样无关的极限定义，因此不可积。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 16.4–16.6 · 本笔记编写

求 y=xy=x 与 y=x2y=x^2 在 [0,1][0,1] 间的面积，并求 x2x^2 在该区间的平均值。

写下我的思路
提示一 · 从哪里开始

先确定哪条曲线在上面。

提示二 · 关键转折

在 0≤x≤10\le x\le1 有 x≥x2x\ge x^2。

参考解答 · 完成尝试后再展开

面积 ∫01(x−x2)dx=1/2−1/3=1/6\int_0^1(x-x^2)dx=1/2-1/3=1/6；平均值 ∫01x2dx/(1−0)=1/3\int_0^1x^2dx/(1-0)=1/3，它在 c=1/3c=1/\sqrt3 处取得。具体积分可在第 17 章学会基本定理后回做。

学习闭环

过关自查

写一段自己的章节总结

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