THE CALCULUS LIFESAVER / 第 12 章

绘制函数图像

把局部导数信息与全局极限信息合成为有依据的图像。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 245–266

先修：第 11 章：单调性与凹凸

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

12.1 符号表 12.1.1–12.1.2 导数的两张表 12.2 整体流程 12.3 五类例图的策略

追问 01

12.1 符号表

为什么只试几个数就能判断整段符号？

先看一个提示

区间分割点必须包含所有零点与不定义点。

展开推理与讲解

将式子因式分解，在数轴上标出所有临界分界；每个因子在没有零点或奇点的连续段上符号不变，所以可取测试点。奇数重根过点变号，偶数重根不变号。分母零点要保留空洞或奇点标记，不能当作函数取值点。

\operatorname{sgn}(uv)=\operatorname{sgn}(u)\operatorname{sgn}(v)

继续追问：一个不可约正二次因子会不会引入符号分界？

核对这一步的回答

不会。严格为正的因子不变号，也没有零点或奇点。

追问 02

12.1.1–12.1.2 导数的两张表

一阶导数表和二阶导数表分别告诉你什么？

先看一个提示

不要把函数的零点与导数的零点混在一起。

展开推理与讲解

一阶表给上升、下降及极值候选；二阶表给凹凸及拐点候选。表中同一点可能属于不同角色，例如驻点并不是函数与横轴交点。先做表再草图，能够防止画出与导数符号冲突的曲线。

f'>0:\text{上升};\quad f'<0:\text{下降};\quad f''>0:\text{凹向上}

继续追问：导数为零但函数值不为零的点，应该画在横轴上吗？

核对这一步的回答

不应该。它应画在其真实函数值处，横轴仅表示函数值等于零的位置。

追问 03

12.2 整体流程

有了极值点，图像是否就确定了？

先看一个提示

端部趋势、定义域和渐近线也约束形状。

展开推理与讲解

依次检查定义域、对称、截距、不连续点、单侧极限与无穷远极限，再做两张导数符号表。把坐标、渐近线、空心点和关键趋势标清后连接。求斜渐近线可用多项式除法或求 $m=\lim f(x)/x$ 、 $b=\lim(f(x)-mx)$ ，需两极限存在。

f(x)-(mx+b)\to0\Longrightarrow y=mx+b\text{ 是渐近线}

继续追问：为什么图像在定义域断开的两段之间不能随意连线？

核对这一步的回答

中间没有允许输入，图像连起来会虚构函数未定义处的点。

追问 04

12.3 五类例图的策略

如果导数过于复杂，是否就完全不能画图？

先看一个提示

先提取不依赖精确求根的信息。

展开推理与讲解

原书依次展示有理函数的定性草图、 $x\ln x$ 、多项式、指数乘多项式以及含分母的例子。共同方法是先固定零点、奇点、符号和端部行为，再补导数信息。无法精确定位的临界点可以给出所在区间，不应伪造精确坐标。对重根尤其要判断穿越还是相切。

f(x)=(x-a)^mg(x),\ g(a)\ne0:\quad m\text{ 奇则穿越，偶则不穿越}

继续追问：定性草图中的哪些结论可由方程严格验证？

核对这一步的回答

零点、定义域、渐近线极限、导数符号以及经过标注的精确坐标都可验证；草图中的视觉比例可能只是示意。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 12.3.2 · 原书 p. 254（PDF 第 279 页）↗

完整分析 $y=x\ln x$ ：定义域、截距、单调、凹凸与两端趋势。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

把上一章的极值结论与本章的整体流程组合。

提示二 · 关键转折

$f''(x)=1/x$ ；零附近用 $x\ln x\to0$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

定义域 $(0,\infty)$ ，横截距 $(1,0)$ ，无纵截距； $(0,1/e)$ 下降，其后上升，在 $(1/e,-1/e)$ 取最小值；处处凹向上，无拐点。 $x\to0^+$ 时趋 $0^-$ ，但原点不在图像上； $x\to\infty$ 时趋正无穷。

练习 2 / 3

原书例子改为练习 · 12.3.3 · 原书 p. 256（PDF 第 281 页）↗

对原书多项式 $f(x)=x^2(x-5)^3$ ，求驻点和单调区间。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

优先因式分解导数而非展开五次式。

提示二 · 关键转折

$f'=5x(x-2)(x-5)^2$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

驻点为 0、2、5。导数在 $(-\infty,0)$ 为正， $(0,2)$ 为负， $(2,5)$ 与 $(5,\infty)$ 为正；0 为局部极大，2 为局部极小，5 不为极值。 $f(0)=0,f(2)=-108,f(5)=0$ ，5 处零点为奇重数，图像穿越横轴。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 12.1–12.2 · 本笔记编写

分析 $f(x)=x+1/x$ 的单调区间、极值和渐近线。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先排除零；不要把左右定义域当作一段。

提示二 · 关键转折

$f'=1-1/x^2$ ，而 $f-x=1/x$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,\infty)$ 上升，在 $(-1,0)$ 与 $(0,1)$ 下降； $(-1,-2)$ 为局部极大， $(1,2)$ 为局部极小。竖直渐近线 $x=0$ ，斜渐近线 $y=x$ 。整个定义域上没有全局最大或最小值。

学习闭环

过关自查

我能说清：把局部导数信息与全局极限信息合成为有依据的图像。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

绘制函数图像

12.1 符号表

12.1.1–12.1.2 导数的两张表

12.2 整体流程

12.3 五类例图的策略

本章练习 · 先尝试，再揭示

完整分析 y=xln⁡xy=x\ln xy=xlnx：定义域、截距、单调、凹凸与两端趋势。

对原书多项式 f(x)=x2(x−5)3f(x)=x^2(x-5)^3f(x)=x2(x−5)3，求驻点和单调区间。

分析 f(x)=x+1/xf(x)=x+1/xf(x)=x+1/x 的单调区间、极值和渐近线。

过关自查

完整分析 $y=x\ln x$ ：定义域、截距、单调、凹凸与两端趋势。

对原书多项式 $f(x)=x^2(x-5)^3$ ，求驻点和单调区间。

分析 $f(x)=x+1/x$ 的单调区间、极值和渐近线。