体积、弧长与表面积

垂直旋转轴切片，截面是圆盘或圆环，面积为外半径平方减内半径平方再乘 $\pi$。半径是几何距离，不一定等于函数值。绕水平线或竖直线平移轴时，先画出到轴的距离。应检查区域是否跨轴，防止错误扣除本不存在的内孔。

壳法体积微元为 $2\pi\rho h\,ds$。纵条绕纵轴形成壳，横条绕横轴形成壳；与垫片法比较，选择不用复杂求逆和过多分段的一种。不同小条若生成重叠壳会重复计数，跨轴情形尤其应先梳理实际区域。

用垂直于一条轴的薄片，把截面积 $A(x)$ 乘厚度 $dx$ 后积分。截面可能是正方形、三角形或半圆，先用底部区域确定截面的边长，再套截面面积公式。应区分边长与面积，量纲检查可抓住漏平方错误。

对于光滑图像，$ds=\sqrt{1+(f')^2}dx$；参数曲线则为 $ds=\sqrt{x'^2+y'^2}dt$。对速率积分给运动路程。如果参数曲线重复走过，得到含重复的总行程，未必是几何轨迹只算一次的长度。

旋转面面积元素为圆周长乘弧长，即 $2\pi\rho\,ds$。绕横轴时半径常为 $\lvert y\rvert$，绕纵轴常为 $\lvert x\rvert$，平移轴改为相应距离。这里只算所扫曲面，不自动包含底面或端盖；重叠表面同样需要避免重复计数。