THE CALCULUS LIFESAVER / 第 23 章

级数问题的解法

根据通项结构选择方法，并准确区分绝对收敛、条件收敛与发散。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 501–518

先修：第 22 章：各类判别法

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

23.1–23.2 先看通项与几何结构 23.3 比值法的细节 23.4–23.5 根值与积分 23.6 比较与渐近模型 23.7 变号级数

追问 01

23.1–23.2 先看通项与几何结构

动用复杂判别前，能否先排除明显发散？

先看一个提示

检查通项是否趋零，再看是否是几何和。

展开推理与讲解

通项不趋零立即发散，不必继续计算比值。只有指数的式子可尝试拆为几个几何级数；注意起始下标影响首项。拆分两个无穷和前应确保拆出的级数各自有意义，不能用两个发散和相减制造答案。

\sum_{n=m}^\infty ar^n=\frac{ar^m}{1-r}\quad(\lvert r\rvert<1)

继续追问：起点从 0 变成 5，为什么和必须改变？

核对这一步的回答

首项从 $a$ 变为 $ar^5$ ，前五项被删去，和值必相应改变。

追问 02

23.3 比值法的细节

把 $n$ 换成 $n+1$ 时，哪些地方必须一起换？

先看一个提示

整个通项中的每一个 $n$ 都属于同一个下标。

展开推理与讲解

先写完整 $a_{n+1}/a_n$ ，化简阶乘和指数后再求极限。例如 $(n+1)!=(n+1)n!$ ， $(2n+2)!$ 则比 $(2n)!$ 多两个因子。绝对值不能因为某些项正就全程忘掉，负底数指数尤其需要它。

\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,\quad\frac{(2n+2)!}{(2n)!}=(2n+2)(2n+1)

继续追问：比值极限为 1 时，你下一步会依据什么换方法？

核对这一步的回答

看剩余结构，例如净幂次、对数因子、可积的连续模型或交错符号，而不是重复无效判别。

追问 03

23.4–23.5 根值与积分

同是含 $n$ 的指数，为什么有些适合开根？

先看一个提示

若整个括号被提升为 $n$ 次幂，根值直接揭开括号。

展开推理与讲解

根值处理 $(b_n)^n$ 尤其方便。含 $n\ln n$ 等临界结构时，积分判别常比比值更有信息；先验证对应函数最终递减。得到的积分值是比较工具，不是级数之和。

\sqrt[n]{\lvert b_n^n\rvert}=\lvert b_n\rvert,\qquad\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x+C

继续追问：为什么 $\sum1/(n\ln n)$ 不能简单称为 $p=1$ 的幂级数？

核对这一步的回答

它是含对数的普通级数，并非只有 $1/n^p$ ；对数可能在临界幂次改变敛散性。

追问 04

23.6 比较与渐近模型

分式看最高幂就够了吗？

先看一个提示

先确认首项没有抵消，比较量最终为正。

展开推理与讲解

有理式可取首项比，三角小量用基本等价，指数与阶乘优先比值或根值。挑选熟悉的 $1/n^p$ 并求通项比的正有限极限。近似只是一种找比较对象的方法，最终书写应明确极限及采用的定理。

a_n\sim Cn^{-p},\ C>0\Longrightarrow\sum a_n\text{ 与 }\sum n^{-p}\text{ 同敛散}

继续追问：若分子最高次项相消，主导幂次会怎样改变？

核对这一步的回答

应重新找下一个非零最高次项，有效衰减速度可能变快，从而改变敛散性。

追问 05

23.7 变号级数

绝对值级数发散后，为什么还不能结束？

先看一个提示

抵消可能使原级数条件收敛。

展开推理与讲解

先试绝对收敛；若失败而符号严格交错，检查幅度递减到零。不是交错形式的振荡不能强套交错判别。写结论要包括“绝对”或“条件”，若通项不趋零则直接写发散。找到一个判别无效，只说明工具不够，不说明题目无解。

\sum\lvert a_n\rvert\text{ 发散}\not\Rightarrow\sum a_n\text{ 发散}

继续追问： $\sin n$ 的符号能否视为逐项严格交错？

核对这一步的回答

不能。正弦在整数点的符号并不逐项严格交替，必须用其他适合振荡的论证。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 23.1 · 原书 p. 502（PDF 第 527 页）↗

计算 $\sum_{n=5}^\infty4/3^n$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

首项并不是 4。

提示二 · 关键转折

首项 $4/3^5$ ，公比 $1/3$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

级数收敛，和为 $(4/3^5)/(1-1/3)=2/81$ 。应先标出起始下标，再代几何公式。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 23.7 · 原书 p. 518（PDF 第 543 页）↗

判断 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin(1/n)$ 与 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(1+1/n)^n$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先看幅度是否趋零。

提示二 · 关键转折

第一题的幅度与 $1/n$ 等价且递减；第二题的幅度趋 $e$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一题由交错判别收敛，但绝对值与调和级数极限比较发散，所以条件收敛。第二题通项不趋零，因此发散；符号交替无法补救。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 23.3–23.6 · 本笔记编写

判断 $\sum_{n=1}^\infty n!/3^n$ 和 $\sum_{n=2}^\infty1/[n(\ln n)^2]$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一题比值；第二题积分。

提示二 · 关键转折

第一题比值 $(n+1)/3$ ，第二题令 $u=\ln x$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一题比值趋无穷，发散。第二题对应正递减函数，积分化为 $\int_{\ln2}^\infty u^{-2}du$ 收敛，因此级数收敛（非负，亦为绝对收敛）。

学习闭环

过关自查

我能说清：根据通项结构选择方法，并准确区分绝对收敛、条件收敛与发散。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

级数问题的解法

23.1–23.2 先看通项与几何结构

23.3 比值法的细节

23.4–23.5 根值与积分

23.6 比较与渐近模型

23.7 变号级数

本章练习 · 先尝试，再揭示

计算 ∑n=5∞4/3n\sum_{n=5}^\infty4/3^n∑n=5∞​4/3n。

判断 ∑n=1∞(−1)nsin⁡(1/n)\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin(1/n)∑n=1∞​(−1)nsin(1/n) 与 ∑n=1∞(−1)n(1+1/n)n\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(1+1/n)^n∑n=1∞​(−1)n(1+1/n)n。

判断 ∑n=1∞n!/3n\sum_{n=1}^\infty n!/3^n∑n=1∞​n!/3n 和 ∑n=2∞1/[n(ln⁡n)2]\sum_{n=2}^\infty1/[n(\ln n)^2]∑n=2∞​1/[n(lnn)2]。

过关自查

计算 $\sum_{n=5}^\infty4/3^n$ 。

判断 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin(1/n)$ 与 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(1+1/n)^n$ 。

判断 $\sum_{n=1}^\infty n!/3^n$ 和 $\sum_{n=2}^\infty1/[n(\ln n)^2]$ 。