数列与级数：基本概念

若 $a_n=f(n)$ 且 $f(x)\to L$，则数列也趋 $L$；反向不一定成立。几何数列 $r^n$ 在 $\lvert r\rvert<1$ 时趋零，在 $r=1$ 时为常数，其他情形需分正负和振荡。洛必达不能直接“对整数求导”，先延拓到实变量函数。

级数收敛意味着部分和趋有限数。由 $a_N=S_N-S_{N-1}$ 可知收敛必有通项趋零，但通项趋零不是充分条件。几何级数在 $\lvert r\rvert<1$ 时为首项除以 $1-r$；删去有限多个已定义项不改变敛散性，但会改变和。

非负项比较和正有限极限比较与反常积分相似。$\sum n^{-p}$ 当且仅当 $p>1$ 收敛。绝对收敛推出收敛；绝对值级数发散时，还要继续判断原变号级数。项本身必须有定义，不能把 $1/0$ 当作普通的有限前缀。

当绝对比值极限 $L<1$ 或 $n$ 次根极限 $L<1$ 时绝对收敛，$L>1$ 时发散；$L=1$ 无结论。基本直觉是最终与收敛或发散的几何数列相比较。极限不存在时普通极限版判别不能直接使用。

若 $a_n=f(n)$，$f$ 在足够大处正、连续、递减，则级数与无穷积分同敛散。它们通常不相等。矩形比较还给出尾和界，这可用于估计截断误差。单调条件不成立时不能直接引用此版本。

若 $b_n\ge0$ 最终递减且趋零，则 $\sum(-1)^nb_n$ 收敛。奇偶部分和从两侧夹向同一极限，余项绝对值不超过首个遗漏项。若绝对值级数发散，原级数即为条件收敛。不能只检查“有负号”而遗漏单调和趋零条件。