THE CALCULUS LIFESAVER / 第 6 章

求导问题的解法

从结构识别求导法则，并能处理切线、运动、分段与伪装差商。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 99–126

先修：第 5 章：导数定义

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

6.1 定义法求导 6.2 运算法则 6.3–6.4 切线与运动 6.5–6.6 差商与分段函数 6.7 根据图像画导数

追问 01

6.1 定义法求导

已经有公式，为何还练差商？

先看一个提示

新函数、拼接点和公式证明仍需定义。

展开推理与讲解

写完整的 $f(x+h)-f(x)$ ，整项加括号；展开、通分或有理化，消去导致 $0/0$ 的因子再取极限。求根式导数时先注明内部点，端点可能只有单侧无限斜率。定义法给出法则的依据。

(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\quad(x>0)

继续追问：在 $x=0$ 可否把这个公式直接代入？

核对这一步的回答

不能。公式仅适用于正 $x$ ，零点右差商趋无穷，没有有限导数。

追问 02

6.2 运算法则

为什么乘积导数不是两个导数相乘？

先看一个提示

乘积变化包含“第一个变”和“第二个变”两部分。

展开推理与讲解

和与常数倍可直接分开。乘积法则来自增量展开，商法则带分母平方；复合函数要先识别外层，再乘内层变化率。复杂式可画运算树，逐层处理，避免对一个式子盲目展开。

(uv)'=u'v+uv',\quad(u/v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad(f\circ g)'=f'(g)g'

继续追问：对 $(x^2+1)^5$ 求导，外层和内层分别是什么？

核对这一步的回答

外层为 $u^5$ ，内层为 $u=x^2+1$ ，导数为 $10x(x^2+1)^4$ 。

追问 03

6.3–6.4 切线与运动

加速度为负是否一定正在减速？

先看一个提示

速度本身可能也是负数。

展开推理与讲解

切线需要点和斜率，先算 $f(a)$ 与 $f'(a)$ 。位置的一阶导为速度，二阶导为加速度；速率为速度绝对值。当速度与加速度同号时速率增大，异号时减小（速度为零处另行分析）。恒加速度给出二次位置函数。

y-f(a)=f'(a)(x-a),\quad v=s',\quad a=s'',\quad s=s_0+v_0t+\tfrac12at^2

继续追问： $v=-3,a=-2$ 时位置与速率各怎样变化？

核对这一步的回答

位置正在减小，但速度和加速度同负，速率正在增加。

追问 04

6.5–6.6 差商与分段函数

一个复杂极限能否只是熟悉函数的导数？

先看一个提示

寻找“变化后的值减原值，再除以变化量”。

展开推理与讲解

识别差商能省去大量代数。分段函数的拼接点先检查连续，再用定义分别算左右差商；两侧公式的导数极限不能脱离函数在拼接点的实际值使用。邻域公式可以分别求导，拼接点需单独结论。

\lim_{h\to0}\frac{(a+h)^n-a^n}h=na^{n-1}

继续追问：为什么可导条件通常要先包含连续条件？

核对这一步的回答

可导必连续；若点值没接上，差商中有不消失的跳跃项。

追问 05

6.7 根据图像画导数

怎样不算公式就画出导数的大致图像？

先看一个提示

在每个位置问“切线斜率是正、负、零还是不存在”。

展开推理与讲解

上升区间对应正导数，下降对应负导数，水平切线对应零。越陡则导数绝对值越大。折角处不能随意连线；函数的高度不等于导数高度。先标零点与不可导位置，再比较斜率随输入的变化趋势。

f\text{ 的斜率图像 }\longleftrightarrow f'

继续追问：曲线在横轴下方但正在上升，导数的符号是什么？

核对这一步的回答

正数。导数取决于上升或下降，不取决于函数在横轴上方还是下方。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 6.1 · 原书 p. 100（PDF 第 125 页）↗

用定义求 $f(x)=\sqrt{x}+x^2$ 的导数，注明适用范围。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

把差商拆为平方根部分和平方部分。

提示二 · 关键转折

第一部分有理化，第二部分展开。

参考解答 · 完成尝试后再展开

对 $x>0$ ，差商等于 $1/(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})+2x+h$ ，极限为 $1/(2\sqrt{x})+2x$ 。在端点 0，右差商 $1/\sqrt{h}+h$ 趋于正无穷，没有有限导数。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 6.5 · 原书 p. 119（PDF 第 144 页）↗

对固定的非零 $x$ ，求 $\lim_{h\to0}h/((x+h)^6-x^6)$ ；另讨论 $x=0$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先识别倒数的分母差商。

提示二 · 关键转折

非零 $x$ 时 $6x^5\ne0$ ，才可直接对极限取倒数。

参考解答 · 完成尝试后再展开

非零 $x$ 时答案为 $1/(6x^5)$ 。 $x=0$ 时原式为 $1/h^5$ ，左右分别趋负无穷和正无穷，两侧极限不存在。额外的零点讨论补足了取倒数的条件。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 6.2、6.6 · 本笔记编写

求 $(x^2+1)^3$ 的导数；并求使分段函数 $f(x)=x^2\ (x\le1)$ 、 $ax+b\ (x>1)$ 在 1 可导的 $a,b$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

复合式不要遗漏内层导数。

提示二 · 关键转折

拼接先令值相等，再令左右斜率相等。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一问 $6x(x^2+1)^2$ 。第二问连续要求 $a+b=1$ ；左右导数分别为 2 与 $a$ ，所以 $a=2,b=-1$ 。只满足 $a+b=1$ 不足以保证可导。

学习闭环

过关自查

我能说清：从结构识别求导法则，并能处理切线、运动、分段与伪装差商。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

求导问题的解法

6.1 定义法求导

6.2 运算法则

6.3–6.4 切线与运动

6.5–6.6 差商与分段函数

6.7 根据图像画导数

本章练习 · 先尝试，再揭示

用定义求 f(x)=x+x2f(x)=\sqrt{x}+x^2f(x)=x​+x2 的导数，注明适用范围。

对固定的非零 xxx，求 lim⁡h→0h/((x+h)6−x6)\lim_{h\to0}h/((x+h)^6-x^6)limh→0​h/((x+h)6−x6)；另讨论 x=0x=0x=0。

求 (x2+1)3(x^2+1)^3(x2+1)3 的导数；并求使分段函数 f(x)=x2 (x≤1)f(x)=x^2\ (x\le1)f(x)=x2 (x≤1)、ax+b (x>1)ax+b\ (x>1)ax+b (x>1) 在 1 可导的 a,ba,ba,b。

过关自查

用定义求 $f(x)=\sqrt{x}+x^2$ 的导数，注明适用范围。

对固定的非零 $x$ ，求 $\lim_{h\to0}h/((x+h)^6-x^6)$ ；另讨论 $x=0$ 。

求 $(x^2+1)^3$ 的导数；并求使分段函数 $f(x)=x^2\ (x\le1)$ 、 $ax+b\ (x>1)$ 在 1 可导的 $a,b$ 。