THE CALCULUS LIFESAVER / 第 4 章

多项式及相关函数的极限

按代入结果选择因式分解、有理化、主导项和分段方法。

4 组核心追问3 组练习原书 pp. 57–74

先修：第 3 章：极限类型与单侧判断

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

4.1 有理函数的有限点极限 4.2 根式与有理化 4.3–4.5 无穷远与主导项 4.6 绝对值极限

追问 01

4.1 有理函数的有限点极限

代入得到 $0/0$ ，到底知道了什么？

先看一个提示

它只说明直接代入失败，没有给出答案。

展开推理与讲解

先代入。若分母非零，利用连续性算值；若分子分母同为零，因式分解并约掉共同因子，再取极限。约分在去心邻域成立已足够。若分子非零而分母趋零，应看分母在两侧的符号，不可直接宣布两侧为正无穷。

\frac{(x-a)P(x)}{(x-a)Q(x)}=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad(x\ne a)

继续追问：约分是否让原函数在 $a$ 自动有了定义？

核对这一步的回答

不会。约分只是建立去心邻域中的相等关系，点值必须另行定义。

追问 02

4.2 根式与有理化

为什么乘共轭能救出根式里的 $0/0$ ？

先看一个提示

平方差会把根号转换成多项式。

展开推理与讲解

遇到平方根之差，乘以和式使分子成为根号内之差，再寻找可消因子。必须同时乘分子分母，保持原式数值；若共轭在附近为零，需另外检查。奇次根与偶次根的定义域也不同。

(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B

继续追问：有理化之后为什么还需要检查定义域？

核对这一步的回答

根式仍须有实数意义；变形不能凭空赋予原式不允许的输入。

追问 03

4.3–4.5 无穷远与主导项

为什么高次幂最终压过低次幂？

先看一个提示

除以最高次幂，观察剩下的每一项。

展开推理与讲解

有理函数同次数看首项系数比，分子次数低则趋零，分子次数高则按幂次与方向判正负无穷。根式先识别有效幂次，再检查是否抵消。负无穷处尤其要保留 $\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert=-x$ 。不能把两个相等主导项分别替换后就宣布差为零。

\frac{a_mx^m+\cdots}{b_nx^n+\cdots}\sim\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}

继续追问： $\sqrt{x^2+x}-x$ 的主导项相消后，下一步应做什么？

核对这一步的回答

乘共轭，化为 $x/(\sqrt{x^2+x}+x)$ ；在正无穷处极限为 $1/2$ 。

追问 04

4.6 绝对值极限

含绝对值的极限为什么常要分两侧？

先看一个提示

绝对值内部在哪些位置变号？

展开推理与讲解

先找绝对值内部零点；在每段确定正负后去绝对值。 $\lvert u\rvert=u$ 仅在 $u\ge0$ 时成立，负时应为 $-u$ 。求两侧极限时分别计算，只有相等才能合并。

\lvert u\rvert=\begin{cases}u&u\ge0\\-u&u<0\end{cases}

继续追问：如果绝对值里面在趋向点附近始终为正，还要分段吗？

核对这一步的回答

不需要；只要在整个相关邻域内符号已确定，就可统一按正号去掉绝对值。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · 4.1 · 原书 p. 58（PDF 第 83 页）↗

分别求 $x\to-1$ 与 $x\to2$ 时 $(x^2-3x+2)/(x-2)$ 的极限。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

先直接代入，第二个出现什么形式？

提示二 · 关键转折

分子为 $(x-1)(x-2)$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一问分母非零，值为 $6/(-3)=-2$ 。第二问在 $x\ne2$ 时约分为 $x-1$ ，所以极限为 1。不能把 $0/0$ 当成数，也不能说原函数在 2 的值为 1。

练习 2 / 3

原书例题重述 · 4.3.1 · 原书 p. 66（PDF 第 91 页）↗

求 $\lim_{x\to\infty}(2x+3)/(x^2-7)$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

哪一侧的最高幂更大？

提示二 · 关键转折

分子分母同除以 $x^2$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

变为 $(2/x+3/x^2)/(1-7/x^2)$ ，分子趋零而分母趋 1，故极限为 0。这也解释了为何只比较次数便能先预测答案。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 4.2、4.5 · 本笔记编写

求 $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$ 和 $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}/x$ 。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一问有理化；第二问先提出 $\sqrt{x^2}$ 。

提示二 · 关键转折

负 $x$ 时 $\lvert x\rvert/x=-1$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一式为 $1/(\sqrt{1+x}+1)$ ，极限 $1/2$ 。第二式为 $-\sqrt{1+1/x^2}$ ，极限为 -1。把 $\sqrt{x^2}$ 写成 $x$ 会得出错误符号。

学习闭环

过关自查

我能说清：按代入结果选择因式分解、有理化、主导项和分段方法。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

多项式及相关函数的极限

4.1 有理函数的有限点极限

4.2 根式与有理化

4.3–4.5 无穷远与主导项

4.6 绝对值极限

本章练习 · 先尝试，再揭示

分别求 x→−1x\to-1x→−1 与 x→2x\to2x→2 时 (x2−3x+2)/(x−2)(x^2-3x+2)/(x-2)(x2−3x+2)/(x−2) 的极限。

求 lim⁡x→∞(2x+3)/(x2−7)\lim_{x\to\infty}(2x+3)/(x^2-7)limx→∞​(2x+3)/(x2−7)。

求 lim⁡x→0(1+x−1)/x\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/xlimx→0​(1+x​−1)/x 和 lim⁡x→−∞x2+1/x\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}/xlimx→−∞​x2+1​/x。

过关自查

分别求 $x\to-1$ 与 $x\to2$ 时 $(x^2-3x+2)/(x-2)$ 的极限。

求 $\lim_{x\to\infty}(2x+3)/(x^2-7)$ 。

求 $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$ 和 $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}/x$ 。