微分方程

最高出现的导数阶数决定方程阶数。通解含常数，初值用来确定这些常数；一阶通常需要一个初值，二阶通常需要两个独立初值。得到公式后须同时检验原微分方程和初值，代入某一个点成立并不等于解方程。

对 $y'=g(x)h(y)$，在 $h(y)\ne0$ 的区域积分 $dy/h(y)=g(x)dx$。另把 $h(y)=0$ 的常数解补回。隐式解可能已经最合适；若使用反三角函数显式解，还需根据初值选分支。最后说明解存在的区间。

先规范为 $y'+p(x)y=q(x)$，取非零积分因子 $\mu=e^{\int p dx}$。乘后左边变成 $(\mu y)'$，积分再除以 $\mu$。一阶线性允许系数随 $x$ 变，但 $y$ 与 $y'$ 都只出现一次方；$y^2$ 不是线性项。

对 $ay''+by'+cy=0$（$a\ne0$），试 $e^{rx}$ 得特征方程。两个不同实根给两指数；重根给 $(C_1+C_2x)e^{rx}$；共轭根 $\alpha\pm i\beta$ 给实解 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。重根情况需要第二个独立解，不能重复写同一指数。

对多项式、指数、正余弦及其有限组合，可猜同类型待定系数特解。若猜测与齐次解冲突，乘 $x$，必要时乘到特征根重数对应的 $x^s$，再代回比较系数。先得到通解，再用初值解常数。待定系数法不是所有右端函数都适用。

用符号表示数量、时间与单位，把“成比例增长”和“外部作用”分别写成项。若药物不断加入，其已有总量也随时间增加，杀灭率可能不是常数。解得到负数量时应回到模型有效范围，不能把负数量当现实结论。用初值、单位和长期趋势共同核验。