原书例子改为练习 · 5.2.10 · 原书 p. 95（PDF 第 120 页）↗
证明 在 0 连续，但不可导。
写下我的思路
提示一 · 从哪里开始
连续看函数值；可导看差商。
提示二 · 关键转折
，而差商是 。
参考解答 · 完成尝试后再展开
，故连续。右差商恒为 1，左差商恒为 -1，极限不相等，因此不可导。图像的尖角体现两种不同的切线方向。
THE CALCULUS LIFESAVER / 第 5 章
连续性与可导性
用极限定义理解连续和导数，区分存在性定理的条件与结论。
4 组核心追问3 组练习原书 pp. 75–98
- 先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
- 卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
- 独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。
5.1 连续与区间
“一笔画出图像”有哪些不可靠之处？
先看一个提示
考虑定义域不包含零的倒数函数。
展开推理与讲解
点连续要求函数值存在、极限存在且二者相等。端点用定义域内的单侧极限。多项式处处连续，有理式在分母非零处连续，复合需各层有定义。 在自身定义域每一点连续；它在零处未定义，不能说在零处连续。
继续追问：拼接两个连续公式时，还缺哪一步才能说整段连续？
核对这一步的回答
须检查拼接点的左极限、右极限和实际函数值都相等。
5.1.4–5.1.6 介值与最值
两端异号为什么能保证中间有根？
先看一个提示
连续函数能否不经过零就从负变正？
展开推理与讲解
介值定理要求闭区间连续，保证端点值之间每个值至少取得一次，不保证唯一。闭区间连续函数还必有最大值和最小值；开区间或无界区间不能照搬。证明唯一性需要单调性等额外理由。
继续追问： 在 上为什么没有最大值？
核对这一步的回答
所有函数值都小于 1，但可以任意接近 1；1 只是上确界，没有被取得。
5.2.1–5.2.7 从速度到导数
平均速度如何变成某一时刻的速度？
先看一个提示
让测量时间间隔缩短，而不是直接把它设为零。
展开推理与讲解
位置差除以时间差是平均速度，极限是瞬时速度。几何上割线斜率趋于切线斜率。导数是局部输出增量与输入增量的比例，因此既是斜率也是变化率。位移可带负号，路程与速率非负。
继续追问：导数为负是否表示物体的位置一定为负？
核对这一步的回答
不是。负速度表示位置正在下降，物体仍可能位于正坐标处。
5.2.8–5.2.11 高阶导数与不可导
连续曲线为什么仍可能没有导数？
先看一个提示
尖角两侧的割线斜率是否趋于同一个有限值？
展开推理与讲解
直线导数为常数，二阶导数衡量一阶变化率怎样变化。尖角、竖直切线和不连续点都可能使有限导数不存在。可导必连续，因为函数增量可写成差商乘 ；反向不成立。可导也不保证导数连续，后面会遇到实例。
继续追问：如果左右导数分别为 1 和 -1，函数能可导吗？
核对这一步的回答
不能。两侧差商必须趋于同一个有限实数才有两侧导数。
切线实验：移动切点
绿色是平方函数，金色是当前切线。先预测切线斜率，再拖动。
图示用于形成猜想；严谨结论请结合本章定义、公式与证明。
本章练习 · 先尝试，再揭示
本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。
原书推导改为练习 · 5.2.6 · 原书 p. 90（PDF 第 115 页）↗
从定义求 的导数，并解释答案的几何意义。
写下我的思路
提示一 · 从哪里开始
把 展开。
提示二 · 关键转折
消去 后再取极限。
参考解答 · 完成尝试后再展开
差商为 ，因此 。抛物线在 的切线斜率为 ，切线方程是 。
补充自测 · 对应 5.1.4 · 本笔记编写
证明 在 至少有一个解；你现在能否仅凭介值定理宣布唯一？
写下我的思路
提示一 · 从哪里开始
计算两端函数值。
提示二 · 关键转折
定理只回答“有没有”，不回答“有几个”。
参考解答 · 完成尝试后再展开
多项式连续，，介值定理保证一个内部零点。唯一性不能由该定理单独推出；学过单调性后可用 证明。