THE CALCULUS LIFESAVER / 附录 B

积分估计

掌握矩形、梯形与辛普森公式，并通过导数界选择分割数。

5 组核心追问3 组练习原书 pp. 703–716

先修：第 16、17、25 章

这一章怎么读

先看问题，暂停一下，用自己的话作答。
卡住时只展开提示，再阅读推理与公式。
独立做三组练习；隔一天不看解答重做错题。

建议将一章分成数次学习；以能解释理由、独立做题为进度标准。

本章目录

B.1 矩形与等距分割 B.2 梯形公式 B.3 辛普森公式与推导 B.4 误差阶与分割数 B.4.1–B.4.2 如何构造导数上界

追问 01

B.1 矩形与等距分割

每小段用哪个高度，为什么会产生不同近似？

先看一个提示

左端、右端与中点描述不同的矩形。

展开推理与讲解

令 $h=(b-a)/n$ 、 $x_j=a+jh$ ，左端和右端各取相应边界值，中点取两端平均位置处的函数值。单调递增时左端低估、右端高估；中点的偏向需看凹凸。有限近似不能写成精确等式。

L_n=h\sum_{j=0}^{n-1}f(x_j),\quad R_n=h\sum_{j=1}^nf(x_j),\quad M_n=h\sum_{j=1}^nf((x_{j-1}+x_j)/2)

继续追问：只给取样点的平均值，怎样变回整个积分近似？

核对这一步的回答

平均高度乘区间长度 $b-a$ ；若用等距和，也就是每个高度乘步长后相加。

追问 02

B.2 梯形公式

相邻梯形共用边，为什么内部点权重为 2？

先看一个提示

逐段写面积后把公共端点项合并。

展开推理与讲解

以端点间直线近似函数，每片为宽度乘两端高度平均。内部采样被左右两片各用一次，端点仅一次。梯形公式对一次函数精确，凹向上函数的弦在曲线上方，所以给高估；凹向下则相反。

T_n=\frac h2\left[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n-1}f(x_j)+f(x_n)\right]

继续追问：梯形结果与左、右矩形结果之间有什么关系？

核对这一步的回答

$T_n=(L_n+R_n)/2$ ，每片梯形正是左右矩形的平均。

追问 03

B.3 辛普森公式与推导

改用抛物线覆盖相邻两段，为什么项数要为偶数？

先看一个提示

每块需要左、中、右三个点，跨两个等宽小区间。

展开推理与讲解

对两段用二次插值，积分后得到 $h(P+4Q+R)/3$ 。相邻块合并形成 1、4、2、4、…、1 的权重。要求小区间等宽、 $n$ 偶数。对三次以内多项式也精确，这是对称性带来的额外优势，不代表对任意曲线精确。

S_n=\frac h3\left[f(x_0)+4\sum_{j\text{ 奇}}f(x_j)+2\sum_{\substack{j\text{ 偶}\\0<j<n}}f(x_j)+f(x_n)\right]

继续追问：奇数索引为什么只出现权重 4 而不是与邻块再相加？

核对这一步的回答

奇数节点是某一对小区间的中点，仅属于该抛物线块内部，不是两块共用边界。

追问 04

B.4 误差阶与分割数

把区间数加倍，理论误差界会改善多少？

先看一个提示

把 $h=(b-a)/n$ 代入相应幂次。

展开推理与讲解

设区间上 $\lvert f^{(k)}\rvert\le M_k$ 。左右端矩形界随 $n^{-1}$ ，梯形随 $n^{-2}$ ，辛普森随 $n^{-4}$ 。前提分别需足够阶的导数存在并有界。给定误差目标，解对 $n$ 的不等式后向上取整数；辛普森还必须取偶数。

\lvert E_{L,R}\rvert\le\frac{M_1(b-a)^2}{2n},\quad\lvert E_T\rvert\le\frac{M_2(b-a)^3}{12n^2},\quad\lvert E_S\rvert\le\frac{M_4(b-a)^5}{180n^4}

继续追问：高阶方法为什么不能不检查光滑性就自动认为更好？

核对这一步的回答

误差公式依赖相应阶导数存在并有界，奇点或不光滑会破坏这些前提。

追问 05

B.4.1–B.4.2 如何构造导数上界

导数最大值不好精确求，能否用更容易证明的较大常数？

先看一个提示

误差保证需要上界，不必一定是最紧上界。

展开推理与讲解

可用求导找候选、因子分别估计或三角不等式得到 $M_k$ 。矩形误差可由每小段函数变化至多 $M_1h$ 推出三角形误差 $M_1h^2/2$ ，累加即得到全区间界。保守上界会需要更多分段，但仍可靠；低于真实最大值的“估计”则无保证。

\lvert f(x)-f(q)\rvert\le M_1\lvert x-q\rvert

继续追问：近似误差界是否还包含浮点舍入误差？

核对这一步的回答

通常不包含。理论公式控制积分离散化误差，实际计算还应另计舍入和函数求值误差。

本章练习 · 先尝试，再揭示

本书没有独立章末习题集。以下明确区分原书例题、正文结论改编及补充自测；页码是印刷页码，链接另标 PDF 页序。延伸问法已在题目或解答中说明。

练习 1 / 3

原书例题重述 · B.2、B.4.1 · 原书 p. 713（PDF 第 738 页）↗

用 $n=5$ 的梯形公式估计 $\int_0^2e^{-x^2}dx$ ，并用 $M_2=2$ 给出误差界。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

步长为 $2/5$ ，列出六个节点。

提示二 · 关键转折

$f''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

$T_5=\frac15[1+2\sum_{j=1}^4e^{-(2j/5)^2}+e^{-4}]\approx0.881131$ 。误差不超过 $2\cdot2^3/(12\cdot5^2)=4/75\approx0.053333$ ，这是保证界而非实际误差。

练习 2 / 3

原书例题重述 · B.3、B.4.1 · 原书 p. 713（PDF 第 738 页）↗

用 $n=8$ 的辛普森公式估计同一积分，并给一种有效的四阶导数界。

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

步长为 $1/4$ ；四阶导数为 $(16x^4-48x^2+12)e^{-x^2}$ 。

提示二 · 关键转折

在 $[0,2]$ 上令 $u=x^2$ ， $\lvert4u^2-12u+3\rvert\le19$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

按 1、4、2、…、4、1 权重求和得约 $0.882066$ 。可取 $M_4=76$ ，故误差至多 $76\cdot2^5/(180\cdot8^4)=19/5760\approx0.003299$ 。界较保守但严格有效。

练习 3 / 3

补充自测 · 对应 B.3–B.4 · 本笔记编写

用两小区间的辛普森公式算 $\int_0^1x^3dx$ ；若对某函数已知 $M_4\le10$ ，要在 $[0,1]$ 保证误差不超过 $10^{-6}$ ，可取多大的偶数 $n$ ？

写下我的思路

解题过程（可导出，浏览器允许时会自动保存）

提示一 · 从哪里开始

第一问只有三个节点。

提示二 · 关键转折

第二问解 $10/(180n^4)\le10^{-6}$ 。

参考解答 · 完成尝试后再展开

第一问 $h=1/2$ ，结果 $(1/6)[0+4(1/8)+1]=1/4$ ，精确。第二问需 $n^4\ge55555.56$ ，取 $n=16$ 可保证要求；14 不足，16 是最小符合该界的偶数。

学习闭环

过关自查

我能说清：掌握矩形、梯形与辛普森公式，并通过导数界选择分割数。我能不看讲解，回答本章各节的开头问题，并说明所用条件。我已独立完成本章练习，并能解释至少一个易错点。我已隔天重做错题；不懂的“继续追问”已标记回读。

写一段自己的章节总结

最重要的结论、使用条件、一个反例、仍待解决的问题

积分估计

B.1 矩形与等距分割

B.2 梯形公式

B.3 辛普森公式与推导

B.4 误差阶与分割数

B.4.1–B.4.2 如何构造导数上界

本章练习 · 先尝试，再揭示

用 n=5n=5n=5 的梯形公式估计 ∫02e−x2dx\int_0^2e^{-x^2}dx∫02​e−x2dx，并用 M2=2M_2=2M2​=2 给出误差界。

用 n=8n=8n=8 的辛普森公式估计同一积分，并给一种有效的四阶导数界。

用两小区间的辛普森公式算 ∫01x3dx\int_0^1x^3dx∫01​x3dx；若对某函数已知 M4≤10M_4\le10M4​≤10，要在 [0,1][0,1][0,1] 保证误差不超过 10−610^{-6}10−6，可取多大的偶数 nnn？

过关自查

用 $n=5$ 的梯形公式估计 $\int_0^2e^{-x^2}dx$ ，并用 $M_2=2$ 给出误差界。

用 $n=8$ 的辛普森公式估计同一积分，并给一种有效的四阶导数界。

用两小区间的辛普森公式算 $\int_0^1x^3dx$ ；若对某函数已知 $M_4\le10$ ，要在 $[0,1]$ 保证误差不超过 $10^{-6}$ ，可取多大的偶数 $n$ ？