极限与证明

对每个 $\varepsilon>0$，必须找到 $\delta>0$，使定义域内所有满足 $0<\lvert x-a\rvert<\delta$ 的输入都满足输出误差小于 $\varepsilon$。量词顺序是核心。证明常先从目标不等式反推，再按“任给误差—选择半径—验证”的正向顺序书写。

和差用三角不等式，并把容许误差分为两半。乘积用 $fg-LM=f(g-M)+M(f-L)$，先用收敛性把 $f$ 局部界住。商先证明分母绝对值大于极限绝对值的一半，再控制倒数误差。夹逼则用上下界各自进入同一误差窗。

$f\to+\infty$ 是任意大门槛 $M$ 都能在足够近处超过；$x\to\infty$ 则把输入限制改为超过某个 $N$。单侧极限只检查指定一边的输入。三角振荡可用两条趋向同一点却输出不同的数列否定极限。

连续复合将外函数给出的允许输入误差作为内函数需要达到的输出误差。介值证明可对异号区间二分，每次保留异号的一半，利用完备性与连续性得到零点。闭区间最值证明先用紧致性得到有界，再取函数值趋于上确界的点列及其收敛子列，连续性保证极限点取到上确界。

令 $F(x)=\int_1^xdt/t$，用基本定理得 $F'=1/x>0$。固定正 $a$，函数 $F(ax)-F(x)$ 导数为零，代 $x=1$ 得 $F(ax)=F(a)+F(x)$。由此建立对数法则；用其反函数定义指数，反函数求导得指数导数等于自身，再识别自然底数。

和、常数倍直接拆差商。乘积先加减 $f(x+h)g(x)$，再用可导必连续；商从乘积与倒数求导推出。链式法则可用余项形式 $f(b+u)=f(b)+f'(b)u+o(u)$，代入 $u=g(x+h)-g(x)$，避免 $u=0$ 时非法相除。

内部极值用正负 $h$ 的差商夹出导数为零；罗尔用闭区间最值存在性找内部极值；一般中值定理先减去割线。线性误差可由二阶信息控制。分段函数证明必须分别处理连续性与差商，避免只比较两边公式就跳过点值。

在有限点 $0/0$ 情况且可连续补值时，柯西中值定理给 $[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(c)/g'(c)$，中间点随 $x\to a$ 也趋于 $a$。这证明该情形；无穷比无穷与无穷远需要相应延拓论证，不能把这一页的证明冒充所有版本。

在足够光滑条件下，$R=f-P_N$ 的零至 $N$ 阶导数在中心都为零，反复洛必达可得 $R/(x-a)^N\to0$。若另一个不相同的 $N$ 次以内多项式也有此性质，两多项式之差的最低非零幂会与之矛盾，因此局部匹配多项式唯一。这里讨论的是局部阶数，不是全区间最小最大误差。